Metode Titik Tetap

Hendra Gunawan,

Melanjutkan artikel sebelumnya, untuk mencari akar fungsi f(x) = x^5-7x+1 yang terdapat dalam interval [0,1], kita tinjau persamaan x^5-7x+1=0. Untuk dapat menggunakan Teorema Titik Tetap Banach, kita tulis ulang persamaan ini sebagai x=\frac{1}{7}(x^5+1). Akar fungsi f dalam hal ini merupakan titik tetap fungsi g(x)=\frac{1}{7}(x^5+1).

Nah, kita periksa apakah fungsi g bersifat kontraktif pada interval [0,1]. Perhatikan bahwa g kontinu dan mempunyai turunan pada [0,1]. Lebih jauh, untuk setiap x\in[0,1], kita mempunyai  g'(x)=\frac{5}{7}x^4>0. Jadi g monoton naik pada [0,1]. Selanjutnya, g(0)=\frac{1}{7} dan g(1)=\frac{2}{7}. Jadi g memetakan [0,1] ke [\frac{1}{7},\frac{2}{7}] \subseteq [0,1]. Sekarang perhatikan bahwa untuk x,y\in[0,1], kita mempunyai

|g(x)-g(y)|=\frac{1}{7}|x^5-y^5|=\frac{1}{7}|x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4||x-y|\le \frac{5}{7}|x-y|.

Jadi g bersifat kontraktif pada [0,1]. Menurut Teorema Titik Tetap Banach, g mempunyai titik tetap pada [0,1]. Memperhatikan daerah nilai dan kemonotonan g pada [0,1], kita mengetahui bahwa titik tetap tersebut tunggal dan berada pada interval [\frac{1}{7},\frac{2}{7}].

Untuk menemukan titik tetap tersebut. kita konstruksi barisan bilangan \{x_n\} dengan x_1=0 dan

x_{n+1}=g(x_n)=\frac{1}{7}(x_n^5+1),\quad n\in{\bf N}.

Barisan bilangan ini jelas merupakan barisan bilangan rasional. Selanjutnya, karena g bersifat kontraktif, barisan bilangan \{x_n\} konvergen, katakanlah ke suatu bilangan r\in[0,1]. Dengan sifat limit barisan, kita dapatkan r=\frac{1}{7}(r^5+1), yang setara dengan r^5-7r+1=0. Dalam hal ini r adalah akar fungsi f yang dicari.

Nah, problem untuk Anda sekarang, buktikan bahwa untuk barisan \{x_n\} yang dikonstruksi dengan cara di atas, kita mempunyai |x_7-r| < 10^{-3}. Hasil ini memperlihatkan bahwa dalam penghampiran akar fungsi f(x) = x^5-7x+1, barisan yang diperoleh dengan Metode Titik Tetap konvergen lebih cepat ke akar r daripada barisan yang diperoleh dengan Metode Bagi Dua.

*

Bandung, 05-05-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s