Melanjutkan artikel sebelumnya, untuk mencari akar fungsi yang terdapat dalam interval
kita tinjau persamaan
Untuk dapat menggunakan Teorema Titik Tetap Banach, kita tulis ulang persamaan ini sebagai
Akar fungsi f dalam hal ini merupakan titik tetap fungsi
Nah, kita periksa apakah fungsi g bersifat kontraktif pada interval Perhatikan bahwa g kontinu dan mempunyai turunan pada
Lebih jauh, untuk setiap
kita mempunyai
Jadi g monoton naik pada
Selanjutnya,
dan
Jadi g memetakan
ke
Sekarang perhatikan bahwa untuk
kita mempunyai
Jadi g bersifat kontraktif pada Menurut Teorema Titik Tetap Banach, g mempunyai titik tetap pada
Memperhatikan daerah nilai dan kemonotonan g pada
kita mengetahui bahwa titik tetap tersebut tunggal dan berada pada interval
Untuk menemukan titik tetap tersebut. kita konstruksi barisan bilangan dengan
dan
Barisan bilangan ini jelas merupakan barisan bilangan rasional. Selanjutnya, karena g bersifat kontraktif, barisan bilangan konvergen, katakanlah ke suatu bilangan
Dengan sifat limit barisan, kita dapatkan
yang setara dengan
Dalam hal ini r adalah akar fungsi f yang dicari.
Nah, problem untuk Anda sekarang, buktikan bahwa untuk barisan yang dikonstruksi dengan cara di atas, kita mempunyai
Hasil ini memperlihatkan bahwa dalam penghampiran akar fungsi
barisan yang diperoleh dengan Metode Titik Tetap konvergen lebih cepat ke akar r daripada barisan yang diperoleh dengan Metode Bagi Dua.
*
Bandung, 05-05-2018