Barisan Kontraktif, Barisan Cauchy, dan Barisan Konvergen

Dalam pembahasan Teorema Titik Tetap Banach, ada dua kelas barisan bilangan yang disebut-sebut, yaitu barisan kontraktif dan barisan Cauchy.

Barisan bilangan sebut barisan kontraktif apabila terdapat suatu bilangan sedemikian sehingga

untuk setiap Secara geometris, jarak di antara dua suku berturutan pada barisan kontraktif semakin mengecil, dengan faktor pengecilan kurang daripada 1.

Barisan bilangan sebut barisan Cauchy apabila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga

untuk setiap Secara geometris, suku-suku pada barisan Cauchy semakin berdekatan satu sama lain.

Nah, di setiap barisan kontraktif merupakan barisan Cauchy, dan setiap barisan Cauchy mestilah konvergen ke suatu bilangan real tertentu. Jadi, setiap barisan kontraktif mestilah konvergen ke suatu bilangan tertentu.

Di Anda dapat membuktikan dengan mudah bahwa setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy (sila coba). Pertanyaannya sekarang: apakah setiap barisan Cauchy merupakan barisan kontraktif? Coba deh Anda selidiki!

*

Bandung, 08-05-2018