Barisan Kontraktif, Barisan Cauchy, dan Barisan Konvergen

Dalam pembahasan Teorema Titik Tetap Banach, ada dua kelas barisan bilangan yang disebut-sebut, yaitu barisan kontraktif dan barisan Cauchy.

Barisan bilangan (x_n) sebut barisan kontraktif apabila terdapat suatu bilangan C \in (0,1) sedemikian sehingga

|x_{n+2}-x_{n+1}| \le C\,|x_{n+1}-x_{n}|

untuk setiap n\in{\bf N}. Secara geometris, jarak di antara dua suku berturutan pada barisan kontraktif semakin mengecil, dengan faktor pengecilan kurang daripada 1.

Barisan bilangan (x_n) sebut barisan Cauchy apabila untuk setiap \epsilon>0 terdapat n_0\in{\bf N} sedemikian sehingga

|x_m-x_n| < \epsilon

untuk setiap m,n \ge n_0. Secara geometris, suku-suku pada barisan Cauchy semakin berdekatan satu sama lain.

Nah, di {\bf R}, setiap barisan kontraktif merupakan barisan Cauchy, dan setiap barisan Cauchy mestilah konvergen ke suatu bilangan real tertentu. Jadi, setiap barisan kontraktif mestilah konvergen ke suatu bilangan tertentu.

Di {\bf R}, Anda dapat membuktikan dengan mudah bahwa setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy (sila coba). Pertanyaannya sekarang: apakah setiap barisan Cauchy merupakan barisan kontraktif? Coba deh Anda selidiki!

*

Bandung, 08-05-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s