Kesamaan Parseval

Misal (H,\langle\cdot,\cdot\rangle) adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap: setiap barisan Cauchy di H konvergen dalam norma ke suatu anggota H. Yakni, jika (x_k) adalah barisan Cauchy di H, maka terdapat x\in H sedemikian sehingga \|x_k-x\|\to 0 untuk k\to\infty. Di sini, \|x\|:=\langle x,x\rangle^{1/2} adalah norma yang diinduksi oleh hasil kali dalam di H. Ruang hasil kali dalam yang lengkap dalam pengertian di atas disebut sebagai ruang Hilbert.

Nah, dalam artikel sebelumnya, kita telah membahas ketaksamaan Bessel. Jika \{ e_1,\dots,e_n \} adalah suatu himpunan ortonormal di H, maka

\sum\limits_{k=1}^n |\langle x,e_k\rangle|^2 \le \|x\|^2

untuk setiap x\in H. Pertanyaannya kemudian: bilakah kesamaan pada ketaksamaan Bessel di atas berlaku? Jika H berdimensi terhingga, jawabannya adalah ketika n={\rm dim}~H. Lalu bagaimana jika H berdimensi takterhingga?

Dalam hal itu, tentunya kita harus mempunyai himpunan ortonormal \{e_k\,:\,k\in{\bf N}\} yang memiliki takterhingga banyak anggota. Tetapi ini belum cukup. Himpunan \{e_k\,:\,k\in{\bf N}\} mesti ‘lengkap’ atau ‘maksimal’, dalam pengertian bahwa tidak ada vektor lain selain vektor nol yang ortogonal terhadap semua e_k,\ k\in{\bf N}. Bila hal ini terpenuhi, maka kesamaan Parseval berlaku.

Selain itu, jika himpunan ortonormal \{e_k\,:\,k\in{\bf N}\} maksimal, maka setiap anggota H dapat dihampiri oleh kombinasi linear dari e_k, dan semakin banyak e_k yang terlibat semakin baik hampirannya. Dalam perkataan lain,

x = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x,e_k\rangle e_k,

untuk setiap x\in H. (Secara implisit, kita telah mengasumsikan bahwa ruang Hilbert H ‘terpisahkan’.)

Himpunan ortonormal maksimal di ruang Hilbert H disebut sebagai basis ortonormal untuk H.

Sebagai contoh, di ruang barisan \ell^2, yang beranggotakan semua barisan (x_i) dengan \sum\limits |x_i|^2<\infty, himpunan barisan (e_k) dengan suku ke-i e_{ki}=0 untuk i\not=k dan suku ke-k e_{kk}=1 merupakan basis ortonormal untuk \ell^2.

*

Bandung, 24-11-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s