Kesamaan Parseval

Misal adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap: setiap barisan Cauchy di H konvergen dalam norma ke suatu anggota H. Yakni, jika adalah barisan Cauchy di H, maka terdapat sedemikian sehingga untuk Di sini, adalah norma yang diinduksi oleh hasil kali dalam di H. Ruang hasil kali dalam yang lengkap dalam pengertian di atas disebut sebagai ruang Hilbert.

Nah, dalam artikel sebelumnya, kita telah membahas ketaksamaan Bessel. Jika adalah suatu himpunan ortonormal di H, maka

untuk setiap Pertanyaannya kemudian: bilakah kesamaan pada ketaksamaan Bessel di atas berlaku? Jika H berdimensi terhingga, jawabannya adalah ketika Lalu bagaimana jika H berdimensi takterhingga?

Dalam hal itu, tentunya kita harus mempunyai himpunan ortonormal yang memiliki takterhingga banyak anggota. Tetapi ini belum cukup. Himpunan mesti ‘lengkap’ atau ‘maksimal’, dalam pengertian bahwa tidak ada vektor lain selain vektor nol yang ortogonal terhadap semua Bila hal ini terpenuhi, maka kesamaan Parseval berlaku:

Selain itu, jika himpunan ortonormal maksimal, maka setiap anggota H dapat dihampiri oleh kombinasi linear dari dan semakin banyak yang terlibat semakin baik hampirannya. Dalam perkataan lain,

untuk setiap (Secara implisit, kita telah mengasumsikan bahwa ruang Hilbert H ‘terpisahkan’.)

Himpunan ortonormal maksimal di ruang Hilbert H disebut sebagai basis ortonormal untuk H.

Sebagai contoh, di ruang barisan yang beranggotakan semua barisan dengan himpunan barisan dengan suku ke-i untuk dan suku ke-k merupakan basis ortonormal untuk

*

Bandung, 24-11-2018