Operator Laplace Pangkat Imajiner

Penelitian utama saya pada tahun 2000-2001 di University of New South Wales adalah tentang operator Laplace pangkat imajiner. Operator Laplace di {\bf R}^n adalah operator turunan

\Delta := -\sum\limits_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}.

Melalui transformasi Fourier \widehat{f}(\xi):=\int_{{\bf R}^n} f(x)e^{2\pi ix\cdot\xi}dx, kita mempunyai

(\Delta f)\,\widehat{}\,(\xi) = (2\pi |\xi|)^2 \widehat{f}(\xi).

Nah, operator Laplace pangkat imajiner yang dimaksud adalah \Delta^{-iu/2}, yang didefinisikan melalui

(\Delta^{-iu/2}f)\,\widehat{}\,(\xi)=(2\pi |\xi|)^{-iu}\widehat{f}(\xi).

Dengan menggunakan sifat-sifat transformasi Fourier, operator Laplace pangkat imajiner dapat diidentifikasi sebagai operator konvolusi

\Delta^{-iu/2}f = K_u*f,

dengan kernel K_u(x)=C(u)|x|^{-n+iu}, untuk suatu konstanta C(u) yang bergantung pada u.

Selanjutnya, dengan mempelajari sifat-sifat kernelnya, saya berhasil membuktikan keterbatasan operator Laplace pangkat imajiner pada ruang Lebesgue L^p({\bf R}^n) untuk 1<p<\infty, dan dari ruang Hardy H^p({\bf R}^n) ke ruang Lebesgue L^p({\bf R}^n) untuk 0<p\le 1, tanpa ataupun dengan bobot.

Hasil penelitian ini saya publikasikan dalam paper berjudul ā€œSome weighted estimates for imaginary powers of Laplace operatorsā€ yang terbit di Bull. Austral. Math. Soc. 65 (2002).

*

Bandung, 27-11-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s