Deret Fourier sebagai Transformasi

Diberikan sebuah fungsi periodik f dengan periode 2\pi, koefisien Fourier c_n dari f dapat dipandang sebagai suatu pemetaan

n \mapsto c_n = {1\over{2\pi}} \int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-in x}\,dx,

yang terdefinisi pada \mathbb{Z}. Transformasi f \mapsto (c_n) memetakan fungsi periodik f yang terdefinisi pada \mathbb{R} ke barisan (c_n) yang terdefinisi pada \mathbb{ Z}.

Transformasi ini memetakan fungsi dengan domain waktu ke fungsi dengan domain frekuensi. Secara fisis, c_n menyimpan informasi tentang sinyal f yang mempunyai frekuensi |n|.

Invers dari transformasi tersebut memetakan barisan (\phi(n)) dengan indeks bilangan bulat ke fungsi periodik

g(x):=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \phi(n) e^{inx}

yang terdefinisi pada \mathbb{R}. Rumus ini memberi kita cara untuk merekonstruksi fungsi f dari barisan (c_n) melalui deret Fourier:

f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}.

Pada prinsipnya, informasi tentang f tersimpan dalam (c_n), dan sebaliknya. Menurut kesamaan Parseval, transformasi f \mapsto (c_n) mengawetkan energi:

\|f\|^2 = \sum_{n=1}^\infty |c_n|^2.

Lebih jauh, terdapat beberapa keuntungan bila kita bekerja dengan (c_n) dibandingkan dengan f. Sebagai contoh, salah satu sifat deret Fourier menyatakan bahwa transformasi di atas `mengubah’ operasi penurunan pada f menjadi perkalian dengan in pada (c_n): jika c'_n menyatakan koefisien Fourier dari f', maka c'_n=inc_n.

*

Bandung, 05-10-2019

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s