Barisan Cauchy yang Bukan Barisan Kontraktif

Hendra Gunawan15/05/201819/06/2018Problem

Problem: Buktikan bahwa barisan $(\frac1n)$ merupakan barisan Cauchy tetapi bukan barisan kontraktif.

Bandung, 15-05-2017

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia. View all posts by Hendra Gunawan

5 Comments

Arini Soesatyo Putri says:

17/05/2018 at 12:40

Belum ada yang jawab, nih. Saya ikut jawab aja ya Prof.
Untuk sebarang $\varepsilon >0$ dapat dipilih $n_{0}>\frac{2}{\varepsilon}$ sehingga untuk setiap $n,m > n_{0}$ berlaku
$|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|\leq |\frac{1}{n}|+|\frac{1}{m}|=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<\varepsilon$ . Terbukti ${\frac{1}{n}}$ merupakan barisan Cauchy.

Andaikan $\frac{1}{n}$ merupakan barisan kontraktif, pastilah terdapat $C\in (0,1)$ memenuhi
$|\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}|\leq C|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}|$
Perhatikan bahwa $\frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)}\leq C$ , di lain pihak
$\frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} \rightarrow 1$ ketika $n\rightarrow\infty$
Terjadi kontradiksi dengan kondisi $C\in (0,1)$ . Jadi $\frac{1}{n}$ mestilah bukan barisan kontraktif.

LikeLike

Reply
1. Hendra Gunawan says:
  
  16/06/2018 at 07:18
  
  Wow, bukti dengan kontradiksi! Salam, HG
  
  LikeLike
  
  Reply
Kalfin Muchtar says:

12/06/2018 at 00:57

Saya akan membuktikan bahwa barisan bilangan real $(x_n)$ yang didefinisikan dengan $x_n = \frac{1}{n}$ tidak kontraktif. Ambil sebarang $C \in (0,1)$ , maka menurut Sifat Archimedes terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $N > \frac{2C}{1-C}$
$\Leftrightarrow N(1-C) > 2C$
$\Leftrightarrow N > C(N+2)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{N+2} > \frac{C}{N}$
$\Leftrightarrow \frac{(N+2)-(N+1)}{(N+2)(N+1)} > C\frac{(N+1)-N}{(N+1)N}$
$\Leftrightarrow | \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+1}| > C| \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N}|$
$\Leftrightarrow | x_{N+2} - x_{N+1}| > C| x_{N+1} - x_N|$
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa barisan $(x_n)$ tidak kontraktif. [QED]

LikeLike

Reply
1. Hendra Gunawan says:
  
  16/06/2018 at 07:16
  
  Keren buktinya. Salam, HG
  
  LikeLike
  
  Reply
Kalfin Muchtar says:

17/06/2018 at 00:57

Terima kasih Prof 🙂

LikeLike

Reply

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

Share this:

Like this:

Published by Hendra Gunawan

5 Comments

Leave a Reply Cancel reply