Setelah mengunggah beberapa artikel (dan problem) tentang ruang metrik, ada yang meminta saya menulis tentang Teorema Titik Tetap. Baiklah.. saya pikir teorema ini memang penting untuk dibahas.
Misalkan X suatu himpunan tak kosong, dan f : X –> X suatu fungsi atau pemetaan. Titik c ϵ X disebut titik tetap dari f apabila f(c) = c. Pertanyaannya adalah: kapankah f mempunyai titik tetap? Sebagai contoh, untuk X = R, fungsi f(x) = x + 1 tidak mempunyai titik tetap, sedangkan fungsi f(x) = x2 mempunyai dua titik tetap, yaitu c = 0 dan c = 1. (Bila Anda menggambar grafik fungsi f, titik tetap f merupakan titik potong kurva y = f(x) dan garis y = x.)
Teorema Titik Tetap Banach memberikan suatu syarat cukup untuk eksistensi titik tetap dari suatu pemetaan yang didefinisikan pada ruang metrik. Persisnya, teorema tersebut berbunyi sebagai berikut.
Teorema Titik Tetap Banach. Misalkan (X, d) ruang metrik lengkap dan f : X –> X suatu pemetaan. Jika terdapat bilangan K di antara 0 dan 1 sedemikian sehingga
d(f(x), f(y)) ≤ K d(x, y)
untuk setiap x, y ϵ X, maka f mempunyai tepat satu titik tetap.
Pemetaan f yang memenuhi ketaksamaan di atas disebut pemetaan kontraktif, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Pemetaan Kontraktif. Buktinya adalah sebagai berikut.
Pertama catat bahwa f mestilah kontinu (secara seragam): untuk setiap ε > 0 terdapat δ = ε/K sedemikian sehingga jika d(x, y) < δ, maka d(f(x), f(y)) < ε. Selanjutnya, ambil titik x0 ϵ X sembarang, lalu definisikan
xn = f(xn–1), n = 1, 2, 3, … .
Berdasarkan hipotesis, kita mempunyai d(x2, x1) = d(f(x1), f(x0)) ≤ K d(x1, x0); d(x3, x2) = d(f(x2), f(x1)) ≤ K d(x2, x1) ≤ K2 d(x1, x0), dan secara umum
d(xn+1, xn) ≤ Kn d(x1, x0)
untuk setiap n = 1, 2, 3, … . Nah, sekarang untuk m > n,
d(xm, xn) ≤ d(xm, xm–1) + … + d(xn+1, xn) ≤ [Km–1 + … + Kn] d(x1, x0).
Di sini Km–1 + … + Kn ≤ Kn(1 + K + K2 + K3 + …) = Kn/(1 – K) → 0 bila n → ∞ dan d(x1, x0) merupakan suatu konstanta. Jadi, barisan x0, x1, x2, x3, … merupakan barisan Cauchy di X. Karena (X, d) merupakan ruang metrik lengkap, barisan ini konvergen, katakanlah ke suatu titik c ϵ X. Mengingat f kontinu, kita mempunyai
lim f(xn) = f(c).
Tetapi, pada saat yang sama, kita juga mempunyai lim f(xn) = lim xn+1 = c. Jadi kita peroleh f(c) = c. Dalam perkataan lain, c merupakan titik tetap f.
Selanjutnya jika b juga merupakan titik tetap f, maka d(b, c) = d(f(b), f(c)) ≤ K d(b, c). Karena 0 < K < 1, kita simpulkan bahwa d(b, c) = 0, yang berarti b = c. Jadi titik tetap f mestilah tunggal.
*
Bandung, 27-01-2017
