Teorema Titik Tetap di Ruang Bernorma-n

Di ruang bernorma, kita mempunyai norma untuk mengukur panjang sebuah vektor. Di ruang bernorma-n, kita mempunyai norma-n untuk mengukur volume paralelpipedium yang direntang oleh n buah vektor. Bila di ruang bernorma yang lengkap ada Teorema Titik Tetap Banach atau Teorema Pemetaan Kontraktif, bagaimana halnya di ruang bernorma-n?

Dalam beberapa paper, saya bersama dengan mahasiswa bimbingan saya telah mempublikasikan hasil penelitian tentang ruang bernorma-n, yang mencakup Teorema Titik Tetap untuk kasus-kasus tertentu. Lihat, misalnya, artikel ini.

Pada tahun 2015, saya bersama dengan E. Sukaesih dan O. Neswan mempublikasikan paper berjudul “Fixed point theorems on bounded sets in an n-normed spaces” di J. Math. Analysis 6-3 (2015), 51-58. Hasil utama kami adalah sebagai berikut. Misal (X,\|\cdot,\dots,\cdot\|) adalah ruang bernorma-n dan B\subseteq X adalah suatu himpunan terbatas terhadap himpunan bebas linear S=\{y_1,\dots,y_n\}, yakni terdapat M>0 sedemikian sehingga \|b, y_{i_2},\dots,y_{i_n}\| \le M untuk setiap b\in B dan \{i_2,\dots,i_n\}\subset\{1,2,\dots,n\}. Nah, kami membuktikan jika X lengkap, B\not=\emptyset dan tutup, dan T:B \to B merupakan suatu pemetaan kontraktif terhadap S, yakni

\|Tx-Tx',y_{i_2},\dots,y_{i_n}\|\le K\|x-x',y_{i_2},\dots,y_{i_n}\|

untuk setiap x,x'\in X dan \{i_2,\dots,i_n\}\subset\{1,2,\dots,n\}, maka T mempunyai sebuah titik tetap tunggal, yakni terdapat satu dan hanya satu x\in X sedemikian sehingga Tx=x.

Pada tahun 2015 juga, saya bersama dengan M. Idris dan S. Konca, mempublikasikan paper di Bitlis Eren Univ. J. Sci. & Technol5-2 (2015), 52-56, yang menawarkan suatu solusi parsial terhadap suatu masalah di ruang bernorma-n. Sila unduh dan baca papernya, bila penasaran.

*

Bandung, 20-08-2019

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s