Di ruang bernorma, kita mempunyai norma untuk mengukur panjang sebuah vektor. Di ruang bernorma-n, kita mempunyai norma-n untuk mengukur volume paralelpipedium yang direntang oleh n buah vektor. Bila di ruang bernorma yang lengkap ada Teorema Titik Tetap Banach atau Teorema Pemetaan Kontraktif, bagaimana halnya di ruang bernorma-n?
Dalam beberapa paper, saya bersama dengan mahasiswa bimbingan saya telah mempublikasikan hasil penelitian tentang ruang bernorma-n, yang mencakup Teorema Titik Tetap untuk kasus-kasus tertentu. Lihat, misalnya, artikel ini.
Pada tahun 2015, saya bersama dengan E. Sukaesih dan O. Neswan mempublikasikan paper berjudul “Fixed point theorems on bounded sets in an n-normed spaces” di J. Math. Analysis 6-3 (2015), 51-58. Hasil utama kami adalah sebagai berikut. Misal adalah ruang bernorma-n dan
adalah suatu himpunan terbatas terhadap himpunan bebas linear
yakni terdapat
sedemikian sehingga
untuk setiap
dan
Nah, kami membuktikan jika X lengkap,
dan tutup, dan
merupakan suatu pemetaan kontraktif terhadap S, yakni
untuk setiap dan
maka T mempunyai sebuah titik tetap tunggal, yakni terdapat satu dan hanya satu
sedemikian sehingga
Pada tahun 2015 juga, saya bersama dengan M. Idris dan S. Konca, mempublikasikan paper di Bitlis Eren Univ. J. Sci. & Technol. 5-2 (2015), 52-56, yang menawarkan suatu solusi parsial terhadap suatu masalah di ruang bernorma-n. Sila unduh dan baca papernya, bila penasaran.
*
Bandung, 20-08-2019