Fungsi Young dan Ruang Orlicz

Fungsi \Phi:[0,\infty) \to [0,\infty) disebut fungsi Young apabila \Phi merupakan fungsi konveks dan kontinu kiri sedemikian sehingga

\lim\limits_{x\to 0^+} \Phi(x)=\phi(0)=0

dan

\lim\limits_{x\to \infty} \Phi(x)=\infty.

Contoh fungsi Young adalah \Phi(x):=x^p, dengan 1\le p<\infty.

Terkait dengan fungsi Young \Phi, kita dapat mendefinisikan ruang Orlicz L_\Phi(\mathbb{R}^n) yang beranggotakan semua fungsi f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} sedemikian sehingga

\int_{\mathbb{R}^n} \Phi(a|f(x)|)\,dx <\infty

untuk suatu a>0. Norma fungsi f dalam hal ini didefinisikan sebagai

\|f\|_\Phi :=\inf \{b>0\,:\,\int_{\mathbb{R}^n} \Phi\bigl(\frac{|f(x)|}{b}\bigr)\,dx\le 1.

Ruang Orlicz L_\Phi(\mathbb{R}^n) merupakan suatu perumuman dari ruang Lebesgue L^p(\mathbb{R}^n). Anda dapat memeriksa bahwa untuk \Phi(x):=x^p, L_\Phi(\mathbb{R}^n)=L^p(\mathbb{R}^n), dengan \|f\|_\Phi = \|f\|_p.

*

Bandung, 17-08-2019

2 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s