Sifat Inklusi Ruang Orlicz-Morrey Diperumum

Hendra Gunawan

Baik ruang Orlicz maupun ruang Morrey merupakan perumuman dari ruang Lebesgue. Dengan menggabungkan keduanya, kita peroleh ruang Orlicz-Morrey yang merupakan perumuman baik dari ruang Orlicz maupun dari ruang Morrey. Dengan memperumum parameternya, ruang Orlicz-Morrey dapat diperumum lebih lanjut menjadi ruang Orlicz-Morrey diperumum. Nah, pada tahun 2017, Al A. Masta, saya, dan Wono Setya-Budhi mempelajari sifat inklusi pada ruang Orlicz-Morrey diperumum, baik versi Nakai maupun versi Sawano-Tanaka.

Misalkan \Phi adalah fungsi Young, dan \phi:[0\infty) \to [0,\infty) adalah fungsi tak turun sedemikian sehingga \frac{\phi(r)}{r} tak naik. Ruang Orlicz-Morrey diperumum L_{\phi,\Phi}(\mathbb{R}^n) versi Nakai beranggotakan semua fungsi f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} sedemikian sehingga

\|f\|_{ L_{\phi,\Phi}(\mathbb{R}^n)} := \sup_{a\in\mathbb{R}^n,\,r>0} \|f\|_{(\phi,\Phi,B(a,r))} <\infty,

dengan \| f\|_{(\phi,\Phi,B(a,r))} :=\inf\Bigl\{ b>0\,:\,\frac{\phi(|B(a,r)|)}{|B(a,r)|} \int_{B(a,r)} \Phi\bigl(\frac{|f(x)|}{b}\bigr)dx \le 1\Bigr\}. Perhatikan jika \Phi(t):=t^p, maka L_{\phi,\Phi}(\mathbb{R}^n)=M^p_\phi(\mathbb{R}^n).

Sekarang misalkan \Psi adalah fungsi Young dan \psi:[0,\infty)\to [0,\infty) adalah fungsi tak turun sedemikian sehingga untuk setiap s>0, \frac{\psi((r+s)^n)}{\Psi^{-1}\bigl((\frac{r+s}{s})^n\bigr)} tak naik (sebagai fungsi dari r). Ruang Orlicz-Morrey diperumum M_{\psi,\Psi(\mathbb{R}^n)} versi Sawano-Tanaka beranggotakan semua fungsi f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} sedemikian sehingga

\|f\|_{ M_{\psi,\Psi(\mathbb{R}^n)} } :=\sup_{a\in\mathbb{R}^n,\,r>0} \psi(|B(a,r)|) \|f\|_{(\Psi,B(a,r)}<\infty,

dengan \|f\|_{(\Psi,B(a,r))}:=\inf\Bigl\{b>0\,:\,\frac{1}{|B(a,r)|} \int_{B(a,r)} \Psi\bigl( \frac{|f(x)|}{b}\bigr)\,dx \le 1\Bigr\}. Perhatikan dalam hal ini jika \Psi(t):=t^p, maka M_ {\psi,\Psi(\mathbb{R}^n)} =M^p_\psi(\mathbb{R}^n).

Al A. Masta, saya, dan Wono Setya-Budhi berhasil membuktikan sifat inklusi yang terjadi di antara ruang Orlicz-Morrey diperumum, baik versi Nakai maupun versi Sawano-Tanaka. Bila anda tertarik, sila unduh papernya yang terbit di Mediterr. J. Math. {\bf 2017}, 14:228.

*

Bandung, 22-10-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s