Fenomena Gibbs

Hendra Gunawan

Misalkan f adalah sebuah fungsi periodik (dengan periode 2L). Jika f mempunyai diskontinuitas di titik x_0\in (-L,L), maka deret Fourier dari f tidak mungkin konvergen ke f secara seragam pada interval [-L,L] (karena limit seragam dari barisan fungsi kontinu haruslah kontinu). Untuk fungsi f yang mulus bagian demi bagian, deret Fourier dari f akan mengalami suatu fenomena yang dikenal sebagai fenomena Gibbs, khususnya di titik-titik diskontinuitas fungsi f. Persisnya, jumlah parsialnya akan mengalami ‘overshoot‘ dan ‘undershoot‘ di sekitar titik diskontinuitas f.

Sebagai ilustrasi, tinjau fungsi f(x):=\pi - x,\ 0<x<2\pi, dengan f(x+2n\pi)=f(x) untuk setiap n\in {\bf Z}. Maka, deret Fourier dari f akan tampak seperti pada gambar di bawah ini. Perhatikan bahwa ada semacam spike di dekat titik-titik diskontinuitas f.

Fenomena Gibbs di sekitar x = 0

Dengan menggunakan rumus deret Fourier untuk f, besar ‘overshoot‘ dan ‘undershoot‘ di sekitar x=0 dapat dihitung, yaitu sebesar 0.562. Dibandingkan dengan lebar loncatan di x=0, yaitu sebesar 2\pi, besar ‘overshoot‘ dan ‘undershoot‘ tadi relatif kecil, yaitu sebesar 0.09\%.

*

Bandung, 19-10-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s