Teorema Pemetaan Kontraktif di Ruang Bernorma-n

Dalam beberapa artikel sebelumnya, saya telah menjelaskan bahwa di ruang barisan-p \ell^p kita dapat mendefinisikan norma-n \|\cdot,\dots,\cdot\|_p, sehingga (\ell^p,\|\cdot,\dots,\cdot\|_p) merupakan ruang bernorma-n.

Nah, pada tahun 2013, saya bersama dengan dua mahasiswa S3 bimbingan saya yang bernama Shelvi Ekariani dan Moch. Idris berhasil membuktikan Teorema Titik Tetap atau Teorema Pemetaan Kontraktif di (\ell^p,\|\cdot,\dots,\cdot\|_p).

Persisnya, misalkan T adalah suatu pemetaan kontraktif di (\ell^p,\|\cdot,\dots,\cdot\|_p) relatif terhadap suatu himpunan bebas linear \{a_1,a_2,\dots,a_n\} di \ell^p, yakni terdapat suat konstanta C\in (0,1) sedemikian sehingga

\|Tx-Tx^\prime,a_{i_2,},\dots,a_{i_n}\|_p \le C\,\|x-x^\prime,a_{i_2},\dots,a_{i_n}\|_p,

untuk setiap x,x^\prime \in \ell^p dan \{i_2,\dots,i_n\}\subset\{1,\dots,n\}. Maka, T mempunyai titik tetap tunggal, yakni terdapat satu dan hanya satu x\in\ell^p sedemikian sehingga Tx=x.

Bila Anda tertarik untuk mempelajari buktinya, sila unduh paper “A contractive mapping theorem on the n-normed space of p-summable sequences“, yang dipublikasikan di J. Math. Analysis 4-1 (2013), 1-7.

*

Bandung, 11-06-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s