monoton turun

Sifat-Sifat Fungsi Involusi

Fungsi involusi mempunyai grafik yang simetris terhadap garis y = x. Selain itu, fungsi involusi mempunyai sejumlah sifat yang menarik, antara lain:

(1) Setiap fungsi involusi merupakan fungsi satu-ke-satu.

(2) Jika f merupakan fungsi involusi yang kontinu pada (-∞, ∞), maka f monoton turun dan mempunyai tepat satu titik tetap.

Sifat pertama mudah dibuktikan (sila coba). Untuk pembuktian sifat kedua, lihat artikel Wiener & Watkins. Dalam artikel ini, dibahas pula sifat-sifat lainnya dari fungsi involusi.

*

Bandung, 23-05-2017

Menghampiri Bilangan √a

Orang zaman dulu, persisnya orang Mesopotamia pada abad ke-15 SM, sudah mengetahui cara menghampiri bilangan √a dengan bilangan pecahan, dengan ketelitian yang dikehendaki.

Misal a > 0. Untuk memperoleh hampiran untuk nilai √a, konstruksi barisan bilangan (xn) dengan rumus rekursif

barisan hampiran akar-1

dengan x0 = 1 (sebagai hampiran awal). Sebagai contoh, misal a = 2. Maka

barisan hampiran akar-2

Perhatikan bahwa x1 > x2 > x3 > … , yakni barisan (xn) monoton turun. Selain itu, xn > 0 untuk setiap n = 1, 2, 3, … , yakni barisan (xn) terbatas di bawah. Nah, barisan bilangan real yang monoton turun dan terbatas di bawah akan konvergen ke suatu bilangan real L.

Hal serupa terjadi untuk bilangan a > 0 lainnya. Bilangan real L yang dituju tentunya bergantung pada a. Persisnya, L mestilah memenuhi persamaan

barisan hampiran akar-3

yang setara dengan L = a/L atau L2 = a. Karena L > 0, kita peroleh L = √a.

Dengan demikian, bilangan pecahan xn pada barisan di atas merupakan hampiran untuk nilai √a. Semakin besar n, semakin baik hampirannya.

*

Bandung, 11-04-2017