Orang zaman dulu, persisnya orang Mesopotamia pada abad ke-15 SM, sudah mengetahui cara menghampiri bilangan √a dengan bilangan pecahan, dengan ketelitian yang dikehendaki.
Misal a > 0. Untuk memperoleh hampiran untuk nilai √a, konstruksi barisan bilangan (xn) dengan rumus rekursif
dengan x0 = 1 (sebagai hampiran awal). Sebagai contoh, misal a = 2. Maka
Perhatikan bahwa x1 > x2 > x3 > … , yakni barisan (xn) monoton turun. Selain itu, xn > 0 untuk setiap n = 1, 2, 3, … , yakni barisan (xn) terbatas di bawah. Nah, barisan bilangan real yang monoton turun dan terbatas di bawah akan konvergen ke suatu bilangan real L.
Hal serupa terjadi untuk bilangan a > 0 lainnya. Bilangan real L yang dituju tentunya bergantung pada a. Persisnya, L mestilah memenuhi persamaan
yang setara dengan L = a/L atau L2 = a. Karena L > 0, kita peroleh L = √a.
Dengan demikian, bilangan pecahan xn pada barisan di atas merupakan hampiran untuk nilai √a. Semakin besar n, semakin baik hampirannya.
*
Bandung, 11-04-2017
Bermatematika 