Menghampiri Bilangan e

Bilangan e, yang dikenal sebagai bilangan Euler, merupakan salah satu bilangan yang menarik dan juga penting dalam matematika. Bilangan e didefinisikan sebagai bilangan real yang memberikan luas daerah di bawah kurva y = 1/x untuk 1 ≤ xe tepat sama dengan 1. Dalam notasi integral,

menghampiri e-1

Sebagai bilangan desimal, kita mempunyai e = 2,718281828459045… . Dalam hal ini, bilangan e termasuk bilangan irasional (sila tengok artikel berjudul “Bukti bahwa e Irasional”). Yang ingin dibahas sekarang adalah bagaimana kita dapat menghampiri bilangan e dengan suatu bilangan rasional atau bilangan pecahan.

Ada beberapa cara untuk menghampirinya. Yang pertama adalah dengan menggunakan fakta bahwa

menghampiri e-2

(Bentuk limit ini muncul dalam perhitungan bunga majemuk dengan bunga ‘kontinu’.) Di sini, kita tinggal memilih bilangan asli n yang cukup besar dan menghitung (1 + n-1)n sebagai hampirannya. Namun, bila kita tidak puas dengan ketelitiannya, kita harus mengambil n yang lebih besar dan menghitung lagi bentuk tersebut.

Cara kedua adalah dengan menggunakan fakta bahwa

menghampiri e-3

Dengan memilih suatu bilangan asli n yang cukup besar, kita peroleh hampiran e ≈ 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n!. Jika kita belum puas dengan ketelitiannya, tinggal kita tambahkan 1/(n+1)! dan seterusnya, sampai ketelitian yang diinginkan.

Lalu ada cara ketiga, yaitu dengan menggunakan bentuk pecahan berlanjut untuk e. Ada beberapa bentuk pecahan berlanjut yang dapat dipakai, tetapi yang paling mudah diingat adalah bentuk pecahan berlanjut di bawah ini:

menghampiri e-4

Sebagai contoh, jika kita menggunakan bentuk pecahan berlanjut ini hingga suku ke-5, maka kita peroleh hampiran e ≈ 144/53. Sayangnya, seperti cara pertama, bila kita belum puas dengan ketelitiannya, kita harus mengulang perhitungan hingga suku ke-n dengan n yang lebih besar.

*

Bandung, 14-04-2017

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s