Mencari Akar Fungsi f(x) = x – cos x

Dalam artikel sebelumnya, kita telah membahas akar suatu fungsi dan sebagai contoh kita telah sepakat bahwa fungsi mempunyai akar di antara 0 dan 1. Dalam perkataan lain, terdapat bilangan c di antara 0 dan 1 sedemikian sehinga atau Pertanyaannya adalah: bagaimana kita dapat menentukan akar tersebut?

Ada beberapa metode yang dapat dipakai untuk menentukan akar suatu fungsi. Terkait dengan contoh di atas, metode yang paling efektif adalah Metode Titik Tetap, yang bertumpu pada Teorema Pemetaan Kontraktif atau Teorema Titik Tetap Banach. Fungsi yang kita hadapi dalam hal ini adalah fungsi Titik tetap fungsi F adalah akar fungsi

Nah, pertanyaannya, apakah F merupakan pemetaan kontraktif? Mengingat dan x berada di antara 0 dan 1, maka berada di antara 0 dan Menurut Teorema Nilai Rata-rata,

untuk setiap Jadi, F kontraktif. Oleh karena itu, menurut Teorema Pemetaan Kontraktif, F mempunyai titik tetap di [0,1]. Dalam perkataan lain, terdapat bilangan c sedemikian sehingga atau

Lebih jauh, bukti Teorema Pemetaan Kontraktif memberi tahu kita bagaimana caranya mendapatkan titik tetap tersebut, yaitu melalui iterasi dengan (misalnya).

Berikut adalah hasil iterasinya:  Dengan ketelitian empat angka di belakang tanda koma, kita peroleh titik tetap c ≈ 0.7391. Bilangan c ini merupakan (hampiran) akar fungsi

*

Bandung, 24-04-2018