Mencari Akar Fungsi f(x) = x – cos x

Dalam artikel sebelumnya, kita telah membahas akar suatu fungsi dan sebagai contoh kita telah sepakat bahwa fungsi f(x)=x-\cos x mempunyai akar di antara 0 dan 1. Dalam perkataan lain, terdapat bilangan c di antara 0 dan 1 sedemikian sehinga f(c)=c-\cos c=0 atau c=\cos c. Pertanyaannya adalah: bagaimana kita dapat menentukan akar tersebut?

Ada beberapa metode yang dapat dipakai untuk menentukan akar suatu fungsi. Terkait dengan contoh di atas, metode yang paling efektif adalah Metode Titik Tetap, yang bertumpu pada Teorema Pemetaan Kontraktif atau Teorema Titik Tetap Banach. Fungsi yang kita hadapi dalam hal ini adalah fungsi F(x)=\cos x. Titik tetap fungsi F adalah akar fungsi f(x)=x-\cos x.

fixed-point-iteration

Nah, pertanyaannya, apakah F merupakan pemetaan kontraktif? Mengingat F'(x)=-\sin x dan x berada di antara 0 dan 1, maka |F'(x)| berada di antara 0 dan \sin 1\ (\approx 0.8415). Menurut Teorema Nilai Rata-rata,

|F(x)-F(y)|=|\cos x-\cos y|=|-\sin c|\cdot|x-y|\le 0.8415|x-y|

untuk setiap x,y\in [0,1]. Jadi, F kontraktif. Oleh karena itu, menurut Teorema Pemetaan Kontraktif, F mempunyai titik tetap di [0,1]. Dalam perkataan lain, terdapat bilangan c sedemikian sehingga F(c)=c atau \cos c=c.

Lebih jauh, bukti Teorema Pemetaan Kontraktif memberi tahu kita bagaimana caranya mendapatkan titik tetap tersebut, yaitu melalui iterasi x_{n+1}=\cos x_n, dengan x_0=0.5 (misalnya).

Berikut adalah hasil iterasinya: x_0=0.5,\ x_1=0.8776,\dots, x_{10}=0.7350,\dots, x_{20}=0.7390,\  x_{21}=0.7391, x_{22}=0.7391. Dengan ketelitian empat angka di belakang tanda koma, kita peroleh titik tetap c ≈ 0.7391. Bilangan c ini merupakan (hampiran) akar fungsi f(x)=x-\cos x.

*

Bandung, 24-04-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s