Masalah pada Metode Titik Tetap

Hendra Gunawan,

Metode Titik Tetap yang telah kita bahas sebelumnya merupakan metode yang ampuh untuk mencari titik tetap dari suatu fungsi kontraktif. Tetapi, bila fungsinya tidak kontraktif di sekitar titik tetapnya, maka Metode Titik Tetap bisa lumpuh.

Sebagai contoh, titik tetap fungsi f(x):=\frac{1}{x},\ x>0, tidak akan diperoleh dengan Metode Titik Tetap. Jika kita memulai iterasi dengan x_1=2, maka selanjutnya kita akan memperoleh x_2=\frac12, x_3=2, x_4=\frac12, dan seterusnya berputar-putar di antara 2 dan \frac12.

Titik tetap fungsi f dalam contoh ini adalah x=1. Sedekat apapun titik hampiran awal kita ke x=1, iterasi dengan Metode Titik Tetap tidak akan memberikan barisan yang konvergen ke 1 (kecuali bila hampiran awal kita adalah x_1=1.) Hal ini terjadi karena fungsi f(x)=\frac{1}{x} tidak bersifat kontraktif di sekitar x=1. (Bila kita hitung turunannya, kita peroleh f'(1)=-1.)

Untungnya, titik tetap fungsi f(x)=\frac{1}{x} dapat diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan f(x)=x yang setara dengan \frac{1}{x}=x.

Serupa dengan contoh di atas, fungsi g(x):=\root 3 \of {9-x^3} juga mempunyai titik tetap di antara 1 dan 2. Sila selidiki apa yang terjadi bila Anda menerapkan Metode Titik Tetap dengan hampiran awal x_1=1.

*

Bandung, 29-05-2018

 

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s