Fungsi Akar Kuadrat

Hendra Gunawan26/05/201819/06/2018Problem

Problem (sedang): Dengan menggunakan definisi, buktikan bahwa fungsi $f(x)=\sqrt{x}$ kontinu seragam pada interval $I=[0,1].$ Dalam perkataan lain, buktikan bahwa untuk setiap $\epsilon>0$ terdapat $\delta>0$ sedemikian sehingga untuk $x,y\in I$ dengan $|x-y|<\delta$ berlaku $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|<\epsilon.$ (Di sini, $\delta$ hanya bergantung pada $\epsilon,$ tidak pada $x$ dan $y.$ )

Bandung, 26-05-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia. View all posts by Hendra Gunawan

3 Comments

Kalfin Muchtar says:

22/06/2018 at 18:31

Diberikan $\epsilon > 0$ sembarang. Kita dapat memilih $\delta = {\epsilon}^2$ sedemikian sehingga jika $x,y \in I$ dengan $|x-y| < \delta$ , maka
$\begin{array}{ccc} {|\sqrt{x} - \sqrt{y}|}^2 &=& |\sqrt{x} - \sqrt{y}||\sqrt{x} - \sqrt{y}| \\ &\le& |\sqrt{x} - \sqrt{y}||\sqrt{x} + \sqrt{y}| \\ &=& |x - y| \\ & 0$ dan $\epsilon > 0$ , maka $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| < \epsilon$ . Ini menunjukkan bahwa fungsi $f(x) = \sqrt{x}$ kontinu seragam pada $I$ .

LikeLike

Reply
Kalfin Muchtar says:

22/06/2018 at 19:23

Mohon maaf Prof, saya tulis kembali jawaban saya. Diberikan \epsilon > 0 sembarang. Kita dapat memilih \delta = {\epsilon}^2 sedemikian sehingga jika x,y \in I dengan |x-y| < \delta, maka
{|\sqrt{x} – \sqrt{y}|}^2 = |\sqrt{x} – \sqrt{y}||\sqrt{x} – \sqrt{y}| <= |\sqrt{x} – \sqrt{y}||\sqrt{x} + \sqrt{y}| = |x – y| = 0 dan \epsilon > 0, maka |\sqrt{x} – \sqrt{y}| < \epsilon . Ini menunjukkan bahwa fungsi f(x) = \sqrt{x} kontinu seragam pada I .
[QED].

LikeLike

Reply
Kalfin Muchtar says:

22/06/2018 at 22:14

Diberikan $\epsilon > 0$ sembarang. Kita dapat memilih $\delta = {\epsilon}^2$ sedemikian sehingga jika $x,y \in I$ dengan $|x-y| < \delta$ , maka
$\begin{array}{ccc} {|\sqrt{x} - \sqrt{y}|}^2 &=& |\sqrt{x} - \sqrt{y}||\sqrt{x} - \sqrt{y}|\\ &\le& |\sqrt{x} - \sqrt{y}||\sqrt{x} + \sqrt{y}|\\ &=& |x - y|\\ &<& \delta\\ &=& {\epsilon}^2 \end{array}$
Karena $(|\sqrt{x} - \sqrt{y}| + \epsilon)$ positif, maka $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| < \epsilon$ . Ini menunjukkan bahwa fungsi $f(x) = \sqrt{x}$ kontinu seragam pada $I$ .
[QED].

LikeLike

Reply

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

Share this:

Like this:

Published by Hendra Gunawan

3 Comments

Leave a Reply Cancel reply