Fungsi Kontinu Seragam – I

Bila Anda baca dan pelajari kembali dua contoh fungsi kontinu pada dua postingan sebelumnya, ada satu hal penting yang berbeda di antara dua fungsi kontinu tersebut. Fungsi pertama tidak kontinu seragam pada daerah asalnya, yaitu (0, ½) ∪ (½, 1), sedangkan fungsi kedua kontinu seragam pada daerah asalnya, yaitu {1/n : n ∈ N}.

Secara umum, fungsi f : D → R dengan D ⊆ R dikatakan kontinu seragam pada D apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, y ∈ D dengan |x – y| < δ berlaku |f(x) – f(y)| < ɛ.

Perhatikan perbedaan definisi kontinu seragam pada D dan kontinu (titik demi titik) pada D. Pada definisi kontinu seragam pada D, bilangan δ tidak bergantung pada titik di D; sedangkan pada definisi kontinu (titik demi titik) pada D, bilangan δ biasanya bergantung pada titik di D.

Nah, pada contoh pertama, f tidak kontinu seragam pada (0, ½) ∪ (½, 1) karena untuk ɛ = ¼, sekecil apa pun δ yang kita pilih, selalu terdapat x ∈ (0, ½) dan y ∈ (½, 1) dengan |x – y| < δ tetapi |f(x) – f(y)| = ½ > ¼.

Pada contoh kedua, f kontinu seragam pada {1/n : n ∈ N} karena untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ = ɛ sedemikian sehingga untuk setiap x, y ∈ {1/n : n ∈ N} dengan |x – y| < δ berlaku |f(x) – f(y)| = |x – y| < ɛ.

*

Bandung, 04-07-2017