Bukan Fungsi Lipschitz

Hendra Gunawan22/05/201819/06/2018Problem

Problem (mudah): Buktikan bahwa $f(x) = \sqrt{x}$ bukan merupakan fungsi Lipschitz pada $[0,1].$

Catatan. Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas bahwa fungsi Lipschitz pada interval I pasti kontinu seragam pada I. Fungsi $f(x) =\sqrt{x}$ merupakan contoh yang memperlihatkan bahwa fungsi yang kontinu seragam pada I tidak harus memenuhi kondisi Lipschitz pada I. [O ya, fungsi yang kontinu pada interval tutup dan terbatas senantiasa kontinu seragam pada interval tersebut.]

Bandung, 22-05-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia. View all posts by Hendra Gunawan

3 Comments

Kalfin Muchtar says:

22/06/2018 at 23:47

Andaikan fungsi $f$ merupakan fungsi Lipschitz pada $I = [0,1]$ , maka terdapat $K > 0$ sedemikian sehingga $|f(x) - f(y)| = |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le K|x - y|$ untuk setiap $x,y \in I$ . Menurut sifat Archimedes terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $N > 3K$ . Pilih $x = \frac{1}{N^2}$ dan $x = \frac{1}{4N^2}$ . Maka kita peroleh $\frac{1}{2N} = |\sqrt{\frac{1}{N^2}} - \sqrt{\frac{1}{4N^2}}| \le K|\frac{1}{N^2} - \frac{1}{4N^2}| < \frac{N}{3}\frac{3}{4N^2} = \frac{1}{4N}$ .
Kontradiksi. Jadi mestilah $f$ bukan merupakan fungsi Lipschitz pada $I$ .
[QED]

LikeLike

Reply
Kalfin Muchtar says:

22/06/2018 at 23:49

Maaf ada kesalahan pada jawaban sebelumnya.
Andaikan fungsi $f$ merupakan fungsi Lipschitz pada $I = [0,1]$ , maka terdapat $K > 0$ sedemikian sehingga $|f(x) - f(y)| = |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le K|x - y|$ untuk setiap $x,y \in I$ . Menurut sifat Archimedes terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $N > 3K$ . Pilih $x = \frac{1}{N^2}$ dan $y = \frac{1}{4N^2}$ . Maka kita peroleh $\frac{1}{2N} = |\sqrt{\frac{1}{N^2}} - \sqrt{\frac{1}{4N^2}}| \le K|\frac{1}{N^2} - \frac{1}{4N^2}| < \frac{N}{3}\frac{3}{4N^2} = \frac{1}{4N}$ .
Kontradiksi. Jadi mestilah $f$ bukan merupakan fungsi Lipschitz pada $I$ .
[QED] TERBUKTI

LikeLike

Reply
Kalfin Muchtar says:

23/06/2018 at 09:29

Andaikan fungsi $f$ merupakan fungsi Lipschitz pada $I = [0,1]$ , maka terdapat $K > 0$ sedemikian sehingga $|f(x) - f(y)| = |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le K|x - y|$ untuk setiap $x,y \in I$ . Menurut sifat Archimedes terdapat $N \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $N > 3K$ . Pilih $x = \frac{1}{N^2}$ dan $y = \frac{1}{4N^2}$ . Maka kita peroleh $\frac{1}{2N} = |\sqrt{\frac{1}{N^2}} - \sqrt{\frac{1}{4N^2}}| \le K|\frac{1}{N^2} - \frac{1}{4N^2}| < \frac{N}{3}\frac{3}{4N^2} = \frac{1}{4N}$ .
Kontradiksi. Jadi mestilah $f$ bukan merupakan fungsi Lipschitz pada $I$ .
[QED]

LikeLike

Reply

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

Share this:

Like this:

Published by Hendra Gunawan

3 Comments

Leave a Reply Cancel reply