Masalah Nilai Ekstrem – I

Dalam matematika, masalah nilai ekstrem termasuk masalah yang sering muncul. Untuk memberikan gambaran kepada Anda, saya akan membahas beberapa masalah nilai ekstrem yang cukup sederhana.

Sebagai contoh pertama, mari kita tinjau masalah ini: tentukan nilai minimum dari x + \frac1x untuk x>0. Siswa yang sudah mengenal kalkulus dengan sigap akan mencari titik stasioner fungsi f(x):=x+\frac1x dan menemukan bahwa x=1 merupakan titik minimum (turunan pertama di titik ini bernilai nol dan turunan keduanya bernilai negatif). Jadi, nilai minimum dari x+\frac1x adalah 2, yang tercapai ketika x=1.

Sebetulnya, kita dapat pula menemukan nilai minimum dari x+\frac1x secara ‘heuristik’, sebagai berikut. Jika x kecil, maka \frac1x besar. Setara dengan itu, jika \frac1x kecil, maka x besar. Sebagai contoh, jika x=0.1, maka \frac1x=10; dan jika \frac1x=0.1, maka x=10. Untuk contoh ini, x+\frac1x = 10.1, terlalu besar.

Untuk mendapatkan nilai x+\frac1x sekecil-kecilnya, x tidak boleh terlalu kecil dan pada saat yang sama \frac1x juga tidak boleh terlalu kecil. Bilangan x=1 memenuhi kriteria tersebut. Nah, untuk x=1, kita mempunyai x+\frac1x = 2.

Persoalannya sekarang adalah bagaimana kita bisa memastikan bahwa, untuk x>0, nilai minimum dari x+\frac1x adalah 2. Tetapi ini tidak terlalu sulit. Kita dapat membuktikan bahwa x+\frac1x\ge2 untuk setiap x>0 dan kesamaan berlaku jika dan hanya jika x=1.

Perhatikan bahwa untuk x>0 ketaksamaan x+\frac1x\ge2 setara dengan x^2-2x+1\ge 0, yang setara dengan (x-1)^2\ge0. Ketaksamaan ini jelas berlaku, dan kesamaan berlaku jika dan hanya jika x=1.

Dalam artikel selanjutnya, saya akan memperlihatkan bahwa masalah nilai minimum x+\frac1x mempunyai interpretasi geometris yang menarik.

*

Bandung, 02-06-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s