Masalah Nilai Ekstrem – I

Dalam matematika, masalah nilai ekstrem termasuk masalah yang sering muncul. Untuk memberikan gambaran kepada Anda, saya akan membahas beberapa masalah nilai ekstrem yang cukup sederhana.

Sebagai contoh pertama, mari kita tinjau masalah ini: tentukan nilai minimum dari untuk Siswa yang sudah mengenal kalkulus dengan sigap akan mencari titik stasioner fungsi dan menemukan bahwa merupakan titik minimum (turunan pertama di titik ini bernilai nol dan turunan keduanya bernilai negatif). Jadi, nilai minimum dari adalah 2, yang tercapai ketika

Sebetulnya, kita dapat pula menemukan nilai minimum dari secara ‘heuristik’, sebagai berikut. Jika x kecil, maka besar. Setara dengan itu, jika kecil, maka x besar. Sebagai contoh, jika maka dan jika maka Untuk contoh ini, terlalu besar.

Untuk mendapatkan nilai sekecil-kecilnya, x tidak boleh terlalu kecil dan pada saat yang sama juga tidak boleh terlalu kecil. Bilangan memenuhi kriteria tersebut. Nah, untuk kita mempunyai

Persoalannya sekarang adalah bagaimana kita bisa memastikan bahwa, untuk nilai minimum dari adalah 2. Tetapi ini tidak terlalu sulit. Kita dapat membuktikan bahwa untuk setiap dan kesamaan berlaku jika dan hanya jika

Perhatikan bahwa untuk ketaksamaan setara dengan yang setara dengan Ketaksamaan ini jelas berlaku, dan kesamaan berlaku jika dan hanya jika

Dalam artikel selanjutnya, saya akan memperlihatkan bahwa masalah nilai minimum mempunyai interpretasi geometris yang menarik.

*

Bandung, 02-06-2018