Masalah Nilai Ekstrem – II

Di SMA atau pada tahun pertama di perguruan tinggi, Anda mungkin pernah berhadapan dengan soal seperti ini: Di antara semua persegi panjang yang memiliki luas 1 satuan luas (misal m2), tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki keliling minimum.

Jika x dan y menyatakan panjang dan lebar persegi panjang tersebut, maka soal di atas setara dengan menentukan nilai minimum dari 2(x+y) dengan kendala xy=1. Tentunya di sini x,y>0.

Dari xy=1, kita mempunyai y=\frac1x. Sementara itu, nilai minimum dari 2(x+y) akan dicapai bila nilai x+y minimum. Jadi, soal di atas meminta kita mencari nilai minimum dari x+\frac1x, untuk x>0.

Masalah ini persis sama dengan masalah nilai minimum yang telah kita bahas dalam artikel sebelumnya. Nilai minimum dari x+\frac1x adalah 2, yang tercapai ketika x=1. Jadi, persegi panjang yang memiliki luas 1 dengan keliling minimum adalah persegi berukuran 1 \times 1.

Selain interpretasi geometris di atas, ada sesuatu yang perlu Anda ketahui tentang masalah minimisasi nilai x+y dengan kendala xy=1. Masalah optimisasi semacam ini banyak muncul dalam kehidupan nyata. Bentuk umumnya adalah: maksimumkan/minimumkan nilai f(x,y), dengan kendala g(x,y)=0. Di sini f dan g merupakan fungsi dua peubah. Fungsi f disebut sebagai fungsi objektif. Salah satu cara menyelesaikannya adalah dengan menggunakan Metode Pengali Lagrange.

Saya tidak akan menjelaskan bagaimana Metode Pengali Lagrange bekerja secara teknis, tetapi secara visual. Idenya adalah sebagai berikut. Jika kita gambar kurva xy=1 dan x+y=k untuk berbagai konstanta k>0, ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi. Untuk k kecil, garis x+y=k tidak berpotongan dengan kurva xy=1. Dalam hal ini, nilai k terlalu kecil.

Untuk k besar, garis x+y=k berpotongan dengan kurva xy=1 di dua titik. Dalam hal ini, nilai k terlalu besar: kita dapat memperkecil k sedemikian sehingga garis x+y=k masih berpotongan dengan kurva xy=1.

luas 1 dg keliling minimum

Nah, nilai k terkecil yang kita cari adalah k^* sedemikian sehingga garis x+y=k^* bersinggungan dengan kurva xy=1. Dalam hal ini, garis x+y=k^* berpotongan dengan kurva xy=1 tepat di satu titik saja.

Dengan mensubstitusikan y=k^*-x ke persamaan xy=1, kita peroleh persamaan x^2-k^*x+1=0. Diskriminan bentuk kuadrat di ruas kiri adalah D=k^2-4. Persamaan kuadrat x^2-k^*+1=0 akan mempunyai tepat sebuah akar jika dan hanya jika D=0, yakni jika dan hanya jika k^*=2 (mengingat k^*>0). Jadi nilai minimum dari x+y dengan kendala xy=1 adalah 2.

Sepertinya saya mengajak Anda berputar-putar untuk menyelesaikan suatu masalah yang sederhana. Sesungguhnya, melalui contoh di atas, saya ingin memperkenalkan teknik atau metode untuk menyelesaikan masalah nilai ekstrem dengan suatu kendala. Selain itu, ada hal lain yang ingin saya perkenalkan juga, tetapi artikel ini sudah terlalu panjang. Tunggu artikel selanjutnya ya..

*

Bandung, 05-06-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s