Masalah Nilai Ekstrem Dual – I

Baiklah kita tinjau kembali masalah minimisasi nilai dengan kendala yang mempunyai interpretasi geometris sebagai masalah minimisasi keliling persegi panjang yang memiliki luas 1 satuan luas. Dengan berbagai metode, kita peroleh bahwa nilai minimum dengan kendala adalah 2. Secara geometri, di antara persegi panjang yang memiliki luas 1, persegi berukuran lah yang akan memiliki keliling minimum.

Nah, terkait dengan masalah minimisasi di atas, ada masalah maksimisasi nilai dengan kendala  Masalah Nilai Maksimum ini merupakan masalah dual dari Masalah Nilai Minimum di atas. Secara geometri, masalahnya sekarang adalah menentukan persegi panjang dengan luas maksimum di antara persegi panjang yang memiliki keliling 4 satuan panjang. Jawabannya tentu saja adalah persegi berukuran dengan luas 1 satuan luas.

Kita peroleh jawaban tersebut karena sebelumnya kita telah menyelesaikan Masalah Nilai Minimum di atas. Argumentasinya sederhana: Luas persegi panjang yang memiliki keliling 4 tidak mungkin memiliki luas L lebih daripada 1 — karena jika itu terjadi, maka kita akan mendapatkan persegi berukuran yang kelilingnya Tetapi bagaimana bila kita, pura-puranya, belum menyelesaikan Masalah Nilai Minimum di atas?

Cara pertama, tentu saja dengan mensubstitusikan salah satu variabel, katakan ke dalam persamaan sehingga kita peroleh Dalam hal ini, L merupakan fungsi kuadrat dalam x, yang akan mencapai nilai maksimum ketika

Cara kedua, kita gunakan Metode Pengali Lagrange secara visual dengan menggambar grafik garis dan kurva untuk berbagai nilai L.

Jika maka kurva akan berpotongan dengan garis di dua titik berbeda. Dalam hal ini, nilai L terlalu kecil. Jika maka kurva tidak akan berpotongan dengan garis Dalam hal ini, nilai L terlalu besar. Namun, ketika maka kurva akan bersinggungan atau berpotongan dengan garis di tepat sebuah titik, yaitu di titik Di titik ini, kendala terpenuhi dan hasil kali bernilai maksimum.

*

Bandung, 09—6-2018