Masalah Nilai Ekstrem Dual – I

Baiklah kita tinjau kembali masalah minimisasi nilai x+y dengan kendala xy=1, yang mempunyai interpretasi geometris sebagai masalah minimisasi keliling persegi panjang yang memiliki luas 1 satuan luas. Dengan berbagai metode, kita peroleh bahwa nilai minimum x+y dengan kendala xy=1 adalah 2. Secara geometri, di antara persegi panjang yang memiliki luas 1, persegi berukuran 1\times 1 lah yang akan memiliki keliling minimum.

Nah, terkait dengan masalah minimisasi di atas, ada masalah maksimisasi nilai xy dengan kendala x+y=2. Masalah Nilai Maksimum ini merupakan masalah dual dari Masalah Nilai Minimum di atas. Secara geometri, masalahnya sekarang adalah menentukan persegi panjang dengan luas maksimum di antara persegi panjang yang memiliki keliling 4 satuan panjang. Jawabannya tentu saja adalah persegi berukuran 1\times 1, dengan luas 1 satuan luas.

Kita peroleh jawaban tersebut karena sebelumnya kita telah menyelesaikan Masalah Nilai Minimum di atas. Argumentasinya sederhana: Luas persegi panjang yang memiliki keliling 4 tidak mungkin memiliki luas L lebih daripada 1 — karena jika itu terjadi, maka kita akan mendapatkan persegi berukuran \sqrt{L}\times\sqrt{L} yang kelilingnya 4\sqrt{L}>4. Tetapi bagaimana bila kita, pura-puranya, belum menyelesaikan Masalah Nilai Minimum di atas?

Cara pertama, tentu saja dengan mensubstitusikan salah satu variabel, katakan y = 2-x, ke dalam persamaan L=xy, sehingga kita peroleh L=x(2-x). Dalam hal ini, L merupakan fungsi kuadrat dalam x, yang akan mencapai nilai maksimum L=1 ketika x=1.

Cara kedua, kita gunakan Metode Pengali Lagrange secara visual dengan menggambar grafik garis x+y=2 dan kurva xy=L untuk berbagai nilai L.

nilai maksimum xy

Jika L<1, maka kurva xy=L akan berpotongan dengan garis x+y=2 di dua titik berbeda. Dalam hal ini, nilai L terlalu kecil. Jika L>1, maka kurva xy+L tidak akan berpotongan dengan garis x+y=2. Dalam hal ini, nilai L terlalu besar. Namun, ketika L=1, maka kurva xy=1 akan bersinggungan atau berpotongan dengan garis x+y=2 di tepat sebuah titik, yaitu di titik (1,1). Di titik ini, kendala x+y=2 terpenuhi dan hasil kali xy bernilai maksimum.

*

Bandung, 09—6-2018

Advertisements

2 Comments

  1. Cara seperti ini juga bisa ya, Prof:
    Berdasarkan ketaksamaan ketaksamaan RA-RG kita punya
    \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}
    Karena diberikan kendala x+y=2, maka diperoleh
    \frac{2}{2}\geq \sqrt{xy}
    1\geq\sqrt{xy}
    xy\leq 1
    Agar persamaan xy=1 terjadi maka haruslah x=y, jadi
    x\cdot x=1
    x^{2}=1
    x=y=1
    Karenanya secara geometris, luas maksimum di antara persegi panjang yang memiliki keliling 4 satuan panjang adalah persegi berukuran 1\times 1.

    Like

    1. Setelah mendapatkan xy\le1, Anda tinggal berargumen begini: selanjutnya x=1 dan y=1 memenuhi kendala x+y=2. Di titik ini, xy=1. Jadi luas maksimum yang mungkin dicapai adalah 1.

      Terima kasih untuk komentarnya (tentang penggunaan RA-RG). Tetapi, sekali lagi, tujuan artikel di atas bukan untuk memecahkan masalahnya, melainkan memperkenalkan metodenya. Nanti saya akan memberikan contoh lain yang tidak bisa diselesaikan dgn RA-RG.

      Liked by 1 person

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s