Masalah Nilai Ekstrem Dual – II

Masih melanjutkan masalah nilai ekstrem dan dualnya, Anda mungkin pernah berhadapan dengan soal berikut ini: Dari selembar karton berukuran s \times s cm2 akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan cara memotong y \times y cm2 dari tiap pojoknya dan melipat keempat sisinya (lihat gambar). Tentukan volume (V) kotak maksimum yang dapat diperoleh, dinyatakan dalam s.

kotak-terbuka

Perhatikan bahwa alas kotak tersebut berbentuk persegi dengan panjang sisi x=s-2y. Dalam hal ini kita ingin mencari nilai maksimum V=x^2y dengan kendala x+2y=s. Di sini, nilai s diketahui.

Setara dengan itu, kita mempunyai masalah dualnya, yaitu mencari nilai minimum s=x+2y dengan kendala V=x^2y. Di sini, nilai V diketahui.

Cara pertama untuk menyelesaikannya adalah dengan menyatakan bentuk yang ingin dicari nilai ekstremnya sebagai fungsi satu peubah, misalnya fungsi dari x saja. Setelah itu kita tinggal menggunakan kalkulus untuk mencari nilai ekstremnya.

Cara kedua adalah dengan menggunakan Metode Pengali Lagrange, yang telah diperkenalkan dalam artikel sebelumnya. Secara geometris, persoalan kita adalah mencari titik singgung garis x+2y=s dengan kurva y=\frac{V}{x^2}. Karena gradien garis x+2y=s adalah -\frac12, gradien kurva y=\frac{V}{x^2} mestilah sama dengan -\frac{1}{2} juga. Jadi y^\prime=-\frac{2V}{x^3}=-\frac12, sehingga diperoleh x=\root 3 \of{4V}.

Jika V diketahui, maka x diperoleh (dan kemudian y juga diperoleh). Sebagai contoh, jika V = 16 cm3, maka x=4 cm dan y=\frac{16}{4^2}=1 cm. Jadi s=6 cm.

Jika s diketahui, maka dari x=\root 3 \of{4V} kita peroleh 4V=x^3 atau 4y=x, sehingga 6y=s atau y=\frac{s}{6}. Jadi V=\frac{2s^3}{27}. Sebagai contoh, jika s=6 cm, maka V=16 cm3.

*

Bandung, 12-06-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s