Menentukan Ukuran Tabung Paling Ekonomis

Hendra Gunawan19/06/201819/06/2018Problem

Masih ingat problem menentukan ukuran tabung paling ekonomis yang diunggah di blog ini dua tahun yang lalu?

Problem atau masalah ini merupakan Masalah Nilai Ekstrem dengan kendala: Diberikan luas permukaannya, tentukan volume maksimum. Masalah dualnya adalah: Diberikan volumenya, tentukan luas permukaan minimum.

Rumus volume tabung adalah $V=\pi r^2t$ dengan r menyatakan jari-jari tabung dan t menyatakan tinggi tabung. Luas permukaannya adalah $A=2\pi r^2 + 2\pi rt.$ Jadi, untuk mendapatkan ukuran tabung paling ekonomis, Anda dapat menyelesaikan masalah optimisasi berikut:

(A) Diketahui $2\pi r^2 +2\pi rt = A,$ tentukan nilai maksimum dari $V=\pi r^2t.$

Sebagai alternatif, Anda dapat menyelesaikan masalah optimisasi berikut:

(B) Diketahui $\pi r^2t = V,$ tentukan nilai minimum dari $A=2\pi r^2 + 2\pi rt.$

Dengan menyelesaikan masalah optimisasi (A) atau (B), buktikan bahwa tabung paling ekonomis adalah tabung yang memiliki tinggi sama dengan diameternya.

Bandung, 19-02-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia. View all posts by Hendra Gunawan

5 Comments

Pingback: Masih tentang Ukuran Tabung Paling Ekonomis – Bermatematika
Arini Soesatyo Putri says:

26/06/2018 at 10:52

Saya coba selesaikan masalah optimisasi (B).
Diberikan volume tabung sebagai $V=\pi r^{2}t$ dan luas permukaannya $A=2\pi r^{2}+2\pi rt$ .
Berdasarkan ketaksamaan RA-RG kita punya
$A=2\pi r^{2}+\pi rt+\pi rt\geq 3\sqrt[3]{2\pi r^{2}\cdot\pi rt\cdot\pi rt}=3\sqrt[3]{2\pi(\pi^{2}r^{4}t^{2})}=3\sqrt[3]{2\pi V^{2}}$

Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $\pi rt=\pi rt=2\pi r^{2}$ , dengan $r,t\neq 0$ . Kita peroleh $t=2r$ . Jadi nilai minimum dari $A$ dicapai ketika panjang tinggi dan diameternya sama, yaitu

$A=2\pi r^{2}+2\pi r(2r)=6\pi r^{2}$

LikeLike

Reply
1. Hendra Gunawan says:
  
  02/07/2018 at 15:02
  
  Akan lebih baik bila jawabannya dinyatakan dalam V, karena nilai V lah yang diberikan.
  
  LikeLike
  
  Reply
Arini Soesatyo Putri says:

30/06/2018 at 14:18

Sekarang saya akan selesaikan masalah optimisasi (A) dengan menggunakan metode pengali Lagrange. Fungsi yang akan dimaksimumkan adalah $V(r,t)=\pi r^{2}t$ dengan kendala $A(r,t)=2\pi r^{2}+2\pi rt$ . Kita punya fungsi bantuannya sebagai

$F(r,t)=\pi r^{2}t+\lambda (2\pi r^{2}+2\pi rt)$

Turunkan fungsi $F$ terhadap $r$ dan juga terhadap $t$ untuk memperoleh

$\frac{dF}{dr}=2\pi rt+\lambda (4\pi rt+2\pi t)=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{-2rt}{4r+2t}$

$\frac{dF}{dt}=\pi r^{2}+\lambda (2\pi r)=0\Leftrightarrow \lambda=-\frac{r}{2}$

Berdasarkan nilai-nilai $\lambda$ yang diperoleh, maka didapat persamaan

$-\frac{r}{2}=\frac{-2rt}{4r+2t}$

$t=2r$

Jadi tabung paling ekonomis dicapai ketika panjang tinggi sama dengan diameternya.

LikeLike

Reply
1. Hendra Gunawan says:
  
  02/07/2018 at 15:03
  
  Mantap! Terima kasih sudah menyelesaikan problem ini. Salam, HG
  
  LikeLike
  
  Reply

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

Share this:

Like this:

Published by Hendra Gunawan

5 Comments

Leave a Reply Cancel reply