Barisan di Ruang Metrik

Metrik merupakan abstraksi dari jarak. Karena itu, kita dapat berbicara tentang kekonvergenan barisan di ruang metrik. Barisan x1, x2, x3, x4, x5, … di ruang metrik (X, d) dikatakan konvergen ke x apabila semakin besar n, semakin dekat xn ke x atau semakin kecil jarak xn ke x. Persisnya, untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli n0 sedemikian sehingga untuk nn0 berlaku d(xn, x) < ε.

Nah, ada yang unik di ruang metrik diskrit. Barisan di ruang metrik diskrit akan konvergen ke suatu titik jika dan hanya jika barisan itu ‘pada akhirnya’ merupakan barisan konstan. Mengapa? Di ruang metrik diskrit, jarak antara dua titik hanya bernilai 0 atau 1. Jadi, ketika ε = ½, misalnya, d(xn, x) < ε berarti d(xn, x) = 0, dan ini memaksa xn = x. Jadi barisan x1, x2, x3, x4, x5, … akan konvergen ke x apabila terdapat n0 sedemikian sehingga suku ke-n0 dan seterusnya sama dengan x. Dengan perkataan lain, barisan x1, x2, x3, x4, x5, … ‘pada akhirnya’ merupakan barisan konstan.

Catatan. Hal yang sama terjadi juga di ruang metrik tangga.

*

Bandung, 10-01-2017

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s