Metrik merupakan abstraksi dari jarak. Karena itu, kita dapat berbicara tentang kekonvergenan barisan di ruang metrik. Barisan x1, x2, x3, x4, x5, … di ruang metrik (X, d) dikatakan konvergen ke x apabila semakin besar n, semakin dekat xn ke x atau semakin kecil jarak xn ke x. Persisnya, untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli n0 sedemikian sehingga untuk n ≥ n0 berlaku d(xn, x) < ε.
Nah, ada yang unik di ruang metrik diskrit. Barisan di ruang metrik diskrit akan konvergen ke suatu titik jika dan hanya jika barisan itu ‘pada akhirnya’ merupakan barisan konstan. Mengapa? Di ruang metrik diskrit, jarak antara dua titik hanya bernilai 0 atau 1. Jadi, ketika ε = ½, misalnya, d(xn, x) < ε berarti d(xn, x) = 0, dan ini memaksa xn = x. Jadi barisan x1, x2, x3, x4, x5, … akan konvergen ke x apabila terdapat n0 sedemikian sehingga suku ke-n0 dan seterusnya sama dengan x. Dengan perkataan lain, barisan x1, x2, x3, x4, x5, … ‘pada akhirnya’ merupakan barisan konstan.
Catatan. Hal yang sama terjadi juga di ruang metrik tangga.
*
Bandung, 10-01-2017
Bermatematika 
1 Comment