Misalkan Fn menyatakan suku ke-n pada Barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Jadi, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, dan seterusnya. Misalkan rn := Fn+1/Fn menyatakan rasio antara suku ke-n+1 dan suku ke-n, yakni r1 = 1, r2 = 2, r3 = 3/2, r4 = 5/3, dan seterusnya. Nah, sekarang kita akan membuktikan bahwa rn menuju Rasio Emas r = (1 + √5)/2 ketika n menuju tak terhingga, dengan mengamati bentuk rn terlebih dahulu secara cermat. (Cara pembuktian yang dibahas di sini bukan satu-satunya cara pembuktian kekonvergenan rn menuju Rasio Emas. Anda mungkin sudah membuktikannya dengan cara lain sebelumnya.)
Perhatikan bahwa untuk setiap n = 1, 2, 3, …, kita mempunyai
Menggunakan rumus rekursif ini, dengan r1 = 1, kita peroleh rn dalam bentuk pecahan berlanjut:
dan seterusnya. Barisan pecahan berlanjut seperti ini selalu konvergen. (Orang Yunani Kuno menggunakannya untuk menghampiri bilangan irasional seperti √2.) Mengapa ia mesti konvergen? Jawabannya karena barisannya berosilasi secara kontraktif. Perhatikan bahwa r2 > r1, r3 < r2, r4 > r3, dan seterusnya. Selain itu, kita juga mempunyai r1 < r3 < r5 < … dan r2 > r4 > r6 > … .
Akibatnya, r2n+1 dan r2n konvergen, dan keduanya konvergen ke bilangan r yang memenuhi persamaan
yang setara dengan r2 – r – 1 = 0. Akar persamaan kuadrat ini adalah r = (1 ± √5)/2. Tetapi kita tahu bahwa r tidak mungkin negatif. Karena itu, kita simpulkan bahwa r = (1 + √5)/2. Ini membuktikan bahwa barisan rasio Fibonacci rn konvergen ke Rasio Emas.
*
Bandung, 05-05-2016
Bermatematika 
2 Comments