Lingkaran Satuan di Ruang Metrik

Di Rⁿ, rumus jarak antara dua titik x = (x₁, …, x_n) dan y = (y₁, …, y_n) adalah

Sifat-sifat dasar fungsi jarak ini adalah:

• ||x – y|| ≥ 0 untuk setiap x dan y (di Rⁿ);
• ||x – y|| = 0 jika dan hanya x = y;
• ||x – y|| = ||y – x|| untuk setiap x dan y;
• ||x – z|| ≤ ||x – y|| + ||y – z|| untuk setiap x, y, dan z.

Secara umum, jika X ≠ Ø, maka fungsi d : X × X → R yang memiliki sifat:

• d(x, y) ≥ 0 untuk setiap x dan y (di X);
• d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y;
• d(x, y) = d(y, x) untuk setiap x dan y;
• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) untuk setiap x, y, dan z,

disebut metrik pada X, dan pasangan (X, d) disebut ruang metrik. Ketaksamaan pada butir keempat di atas dikenal sebagai ketaksamaan segitiga.

Nah, pada Rⁿ, dapat diperiksa bahwa fungsi

merupakan metrik. Tetapi kita juga dapat mendefinisikan metrik lain pada Rⁿ. Sebagai contoh, dapat diperiksa bahwa kedua fungsi berikut

dan

merupakan metrik pada Rⁿ.

Di ruang metrik (Rⁿ, d), himpunan S(O, 1) := {x ϵ Rⁿ : d(x, O) = 1} dikenal sebagai permukaan bola satuan (yang berpusat di O(0, …, 0)). Di (R², d₂), permukaan bola satuan tak lain adalah lingkaran satuan yang berpusat di O(0,0), yang bentuknya bundar.

Tetapi, lingkaran satuan di (R², d₁), yaitu S(O, 1) = {(x₁, x₂) ϵ R² : |x₁| + |x₂| = 1}, berbentuk persegi:

Jadi, di ruang metrik, lingkaran tidak selalu bundar ya! 🙂

Problem: Gambarlah lingkaran satuan di (R², d_∞).

*

Bandung, 23-12-2016