Lingkaran Satuan di Ruang Metrik

Di Rn, rumus jarak antara dua titik x = (x1, …, xn) dan y = (y1, …, yn) adalah

ruang-metrik-1

Sifat-sifat dasar fungsi jarak ini adalah:

  • ||xy|| ≥ 0 untuk setiap x dan y (di Rn);
  • ||xy|| = 0 jika dan hanya x = y;
  • ||xy|| = ||yx|| untuk setiap x dan y;
  • ||xz|| ≤ ||xy|| + ||yz|| untuk setiap x, y, dan z.

Secara umum, jika X ≠ Ø, maka fungsi d : X × X → R yang memiliki sifat:

  • d(x, y) ≥ 0 untuk setiap x dan y (di X);
  • d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y;
  • d(x, y) = d(y, x) untuk setiap x dan y;
  • d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) untuk setiap x, y, dan z,

disebut metrik pada X, dan pasangan (X, d) disebut ruang metrik. Ketaksamaan pada butir keempat di atas dikenal sebagai ketaksamaan segitiga.

Nah, pada Rn, dapat diperiksa bahwa fungsi

ruang-metrik-2

merupakan metrik. Tetapi kita juga dapat mendefinisikan metrik lain pada Rn. Sebagai contoh, dapat diperiksa bahwa kedua fungsi berikut

ruang-metrik-3

dan

ruang-metrik-4

merupakan metrik pada Rn.

Di ruang metrik (Rn, d), himpunan S(O, 1) := {x ϵ Rn : d(x, O) = 1} dikenal sebagai permukaan bola satuan (yang berpusat di O(0, …, 0)). Di (R2, d2), permukaan bola satuan tak lain adalah lingkaran satuan yang berpusat di O(0,0), yang bentuknya bundar.

lingkaran-satuan

Tetapi, lingkaran satuan di (R2, d1), yaitu S(O, 1) = {(x1, x2) ϵ R2 : |x1| + |x2| = 1}, berbentuk persegi:

ruang-metrik-5

Jadi, di ruang metrik, lingkaran tidak selalu bundar ya! 🙂

Problem: Gambarlah lingkaran satuan di (R2, d).

*

Bandung, 23-12-2016

Advertisements

3 comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s