Kesetaraan Dua Metrik

Sdr. Bungaran Sibarani, salah seorang pembaca setia blog Bermatematika.net, merasa aneh dengan metrik diskrit. Persisnya, ia heran mendapati fakta bahwa di R yang dilengkapi dengan metrik diskrit,  barisan seperti 1, ½, ⅓, ¼, … , 1/n, … merupakan barisan yang divergen, padahal di R yang dilengkapi dengan metrik biasa (yaitu d(x, y) = |xy|) barisan ini konvergen ke 0. Ini sesungguhnya merupakan pertanda bahwa kedua metrik yang sedang dibahas, yaitu metrik diskrit dan metrik biasa, tidak setara atau tidak ekuivalen.

Dua metrik yang didefinisikan pada X, sebutlah d1 dan d2, dikatakan setara atau ekuivalen apabila terdapat dua konstanta positif C1 dan C2 sedemikian sehingga untuk setiap x dan y di X berlaku C1 d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ C2 d2(x, y).

Nah, jika d1 dan d2 merupakan dua metrik yang setara pada X, maka barisan x1, x2, x3, … yang konvergen di (X, d1) akan konvergen juga di (X, d2), dan sebaliknya barisan yang konvergen di (X, d2) akan konvergen juga di (X, d1). Jadi jika ada barisan yang konvergen di (X, d1) tetapi tidak konvergen di (X, d2), atau sebaliknya, maka kedua metrik tersebut mestilah tidak setara.

Apakah ada contoh dua metrik berbeda tapi setara? Tentu saja ada. Sebagai contoh, di Rn, kita telah membahas beberapa metrik berbeda, antara lain d1, d2, dan d (lihat kembali definisi ketiga metrik ini dalam artikel tentang lingkaran satuan di ruang metrik). Nah, Anda dapat membuktikan bahwa ketiga metrik ini setara. Sila coba!

*

Bandung, 17-01-2017

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s