Selain tentang kekonvergenan barisan, kita juga dapat berbicara tentang kekontinuan fungsi di ruang metrik. Misalkan (X, d1) dan (Y, d2) ruang metrik, f : X → Y adalah fungsi dari X ke Y, dan c adalah anggota X. Fungsi f dikatakan kontinu di c apabila semakin dekat x ke c, semakin dekat f(x) ke f(c). Persisnya, untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika d1(x, c) < δ, maka d2(f(x), f(c)) < ε.
Problem: Misalkan X adalah ruang metrik diskrit, Y adalah ruang metrik sembarang, dan f : X → Y adalah fungsi dari X ke Y. Buktikan bahwa f kontinu di setiap titik c ϵ X, apa pun rumus fungsi f.
*
Bandung, 13-01-2017
Bermatematika 
Untuk setiap $\varepsilon>0$, pilih $\delta=\frac{1}{2}$. Jika $x\in X$ memenuhi
$d_1(x,c)<\delta$, maka $x=c$, sehingga
\[
d_2(f(x),f(c))=d_2(f(c),f(c))=0<\varepsilon.
\]
Jadi, terbukti bahwa $f$ kontinu di $c$.
LikeLike
Problem ini terlalu mudah untuk mahasiswa doktor 🙂
LikeLike