Ruang Metrik Lengkap – I

Kita telah membahas bahwa di X = R yang dilengkapi dengan metrik diskrit, barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, … tidak konvergen ke 0, karena d(1/n, 0) = 1 untuk setiap n. Padahal, kita tahu bahwa barisan tersebut konvergen ke 0 di R yang dilengkapi dengan metrik biasa.

Nah, sekarang misalkan X = {xR : 0 < x < 2} dan d(x, y) = |xy| untuk x, y ∈ X. Apakah barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, … konvergen? Jawabannya adalah tidak. Calon limitnya, yaitu 0, tidak ada di X. Ruang metrik (X, d) ini merupakan contoh ruang metrik yang tidak lengkap.

Ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di X merupakan barisan yang konvergen (ke suatu anggota X). Barisan x1, x2, x3, x4, … disebut barisan Cauchy di ruang metrik (X, d) apabila untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga d(xm, xn) < ϵ untuk m, n ≥ N.

Pada contoh di atas, barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, … merupakan barisan Cauchy di X tetapi tidak konvergen (ke anggota X yang manapun).

Di R yang dilengkapi dengan metrik diskrit, barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, … tidak konvergen, tetapi ia juga bukan barisan Cauchy. Barisan x1, x2, x3, x4, … merupakan barisan Cauchy di ruang metrik diskrit apabila suku-sukunya ‘pada akhirnya’ konstan. Akibatnya, barisan Cauchy di ruang metrik diskrit pasti konvergen. Jadi ruang metrik diskrit senantiasa lengkap.

*

Bandung, 20-01-2017

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s