Ruang Metrik Lengkap – I

Kita telah membahas bahwa di X = R yang dilengkapi dengan metrik diskrit, barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, … tidak konvergen ke 0, karena d(1/n, 0) = 1 untuk setiap n. Padahal, kita tahu bahwa barisan tersebut konvergen ke 0 di R yang dilengkapi dengan metrik biasa.

Nah, sekarang misalkan X = {x ∈ R : 0 < x < 2} dan d(x, y) = |x – y| untuk x, y ∈ X. Apakah barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, … konvergen? Jawabannya adalah tidak. Calon limitnya, yaitu 0, tidak ada di X. Ruang metrik (X, d) ini merupakan contoh ruang metrik yang tidak lengkap.

Ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di X merupakan barisan yang konvergen (ke suatu anggota X). Barisan x₁, x₂, x₃, x₄, … disebut barisan Cauchy di ruang metrik (X, d) apabila untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga d(x_m, x_n) < ϵ untuk m, n ≥ N.

Pada contoh di atas, barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, … merupakan barisan Cauchy di X tetapi tidak konvergen (ke anggota X yang manapun).

Di R yang dilengkapi dengan metrik diskrit, barisan 1, 1/2, 1/3, 1/4, … tidak konvergen, tetapi ia juga bukan barisan Cauchy. Barisan x₁, x₂, x₃, x₄, … merupakan barisan Cauchy di ruang metrik diskrit apabila suku-sukunya ‘pada akhirnya’ konstan. Akibatnya, barisan Cauchy di ruang metrik diskrit pasti konvergen. Jadi ruang metrik diskrit senantiasa lengkap.

*

Bandung, 20-01-2017