fungsi Weierstrass

Turunan dan Kekontinuan – V

Fungsi Weierstrass yang diperkenalkan pada artikel sebelumnya merupakan satu di antara banyak contoh fungsi yang kontinu tetapi tidak mempunyai turunan di titik manapun. Bila Anda lacak fungsi Weierstrass di Internet, Anda akan menemukan banyak artikel¬†yang membahas fungsi tersebut. Salah satu di antaranya adalah tesis master karangan Johan Thim yang berjudul Continuous Nowhere Differentiable Functions¬†(unduh deh). Dalam tesis ini, Thim tidak hanya mengulas fungsi Weierstrass, tetapi juga fungsi Bolzano, fungsi Riemann, fungsi Orlicz, dan lain-lain, yang memiliki sifat serupa dengan fungsi Weierstrass — yaitu kontinu tetapi tidak mempunyai turunan di mana-mana. Sila baca dan pelajari tesis Thim.

*

Bandung, 25-07-2017

Advertisements

Turunan dan Kekontinuan – IV

Eksistensi turunan di suatu titik hanya menjamin kekontinuan di titik tersebut, tidak pada suatu interval buka yang memuat titik tersebut. Sekarang bagaimana dengan kebalikannya: jika f kontinu pada suatu interval dengan panjang positif, apakah f akan mempunyai turunan kecuali di sejumlah titik dalam interval tersebut? Sebagai contoh, fungsi tangga Cantor yang grafiknya seperti pada gambar di bawah ini merupakan fungsi yang kontinu pada [0, 1]. Fungsi ini tidak mempunyai turunan di tak terhingga banyak titik, tetapi di titik-titik lainnya ia mempunyai turunan nol. Secara keseluruhan, fungsi tangga Cantor mempunyai turunan ‘hampir di mana-mana’ (yakni, mempunyai turunan kecuali pada suatu himpunan ‘berukuran nol’).

cantor-function

Namun, jangan salah, ada banyak fungsi yang kontinu pada suatu interval buka tetapi tidak mempunyai turunan di satu titik pun dalam interval tersebut. Salah satu contohnya adalah fungsi Weierstrass,

rumus fungsi weierstrass

yang grafiknya seperti di bawah ini:

fungsi weierstrass

Fungsi Weierstrass kontinu di setiap titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik manapun. Fungsi ini ‘ditemukan’ dan dipublikasikan oleh Karl Weierstrass pada 18 Juli 1872.

*

Bandung, 21-07-2017