Turunan dan Kekontinuan – IV

Eksistensi turunan di suatu titik hanya menjamin kekontinuan di titik tersebut, tidak pada suatu interval buka yang memuat titik tersebut. Sekarang bagaimana dengan kebalikannya: jika f kontinu pada suatu interval dengan panjang positif, apakah f akan mempunyai turunan kecuali di sejumlah titik dalam interval tersebut? Sebagai contoh, fungsi tangga Cantor yang grafiknya seperti pada gambar di bawah ini merupakan fungsi yang kontinu pada [0, 1]. Fungsi ini tidak mempunyai turunan di tak terhingga banyak titik, tetapi di titik-titik lainnya ia mempunyai turunan nol. Secara keseluruhan, fungsi tangga Cantor mempunyai turunan ‘hampir di mana-mana’ (yakni, mempunyai turunan kecuali pada suatu himpunan ‘berukuran nol’).

Namun, jangan salah, ada banyak fungsi yang kontinu pada suatu interval buka tetapi tidak mempunyai turunan di satu titik pun dalam interval tersebut. Salah satu contohnya adalah fungsi Weierstrass,

yang grafiknya seperti di bawah ini:

Fungsi Weierstrass kontinu di setiap titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik manapun. Fungsi ini ‘ditemukan’ dan dipublikasikan oleh Karl Weierstrass pada 18 Juli 1872.

*

Bandung, 21-07-2017