Ruang Bernorma-n

Hendra Gunawan,

Secara logis, setelah mengenal ruang bernorma-2, tentunya kita bertanya tentang ruang bernorma-n. Nah, seperti apa ruang bernorma-n itu?

Misal X adalah ruang vektor real berdimensi d\ge n,\ n\in{\bf N}. Pemetaan \|\cdot,\dots,\cdot\| pada X\times X\times \cdots \times X (n kali) yang bersifat:

1. \|x_1,\dots,x_n\|=0 jika dan hanya jika x_1,\dots,x_n bergantung linear,

2. \|x_1,\dots,x_n\| invarian (tidak berubah nilai) terhadap permutasi,

3. \|\alpha x_1,x_2,\dots, x_n\|=|\alpha|\,\|x_1,x_2,\dots,x_n\|, dan

4. \|x_0+x_1,x_2,\dots,x_n\|\le \|x_0,x_2,\dots,x_n\|+\|x_1,x_2,\dots,x_n\|,

disebut norma-n pada X, dan pasangan (X,\|\cdot,\dots,\cdot\|) disebut ruang bernorma-n.

Secara geometris, \|x_1,\dots,x_n\| dapat diinterpretasikan sebagai volume paralelpipedium yang direntang oleh vektor-vektor x_1,\dots,x_n di X.

Contoh ruang bernorma-n adalah ruang Euclid {\bf R}^d yang dilengkapi dengan norma-n standar:

\|x_1,x_2\dots,x_{n}\|:=\left|\begin{array}{cccc} \langle x_1,x_1\rangle & \langle x_1,x_2\rangle & \cdots & \langle x_1,x_n\rangle\\ \langle x_2,x_1\rangle & \langle x_2,x_2\rangle & \cdots & \langle x_2,x_n\rangle\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle x_n,x_1\rangle & \langle x_n,x_2\rangle & \cdots & \langle x_n,x_n\rangle\\ \end{array}\right|^{\frac12},

dengan \langle\cdot,\cdot\rangle menyatakan hasil kali dalam biasa di {\bf R}^d.

Problem untuk Anda: Buktikan bahwa pemetaan di atas memenuhi keempat sifat norma-n.

*

Bandung, 06-10-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

2 Comments

  1. Pingback: Hasil Kali Dalam di Ruang Hasil Kali Dalam-n – Bermatematika
  2. Pingback: Dua Norma Ekuivalen di Ruang Barisan l^p – Bermatematika

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s