Kembali ke topik penelitian saya. Sebagaimana telah saya ceritakan sebelumnya, pada akhir dekade 1990-an, saya berkenalan dengan ruang bernorma-2. Yang menarik perhatian saya ketika itu adalah bagaimana kita mendefinisikan barisan konvergen di ruang bernorma-2.
Di ruang bernorma 
barisan 
di 
dikatakan konvergen ke 
apabila 
untuk 
Sekarang, misal 
adalah suatu ruang bernorma-2. Berbeda dengan norma yang mengukur panjang vektor, norma-2 mengukur luas jajaran genjang yang direntang oleh dua vektor. Bagaimana kita bisa menyimpulkan bahwa suatu vektor cukup dekat ke vektor lainnya dengan menggunakan norma-2?
Para peneliti sebelumnya mendefinisikan barisan di konvergen ke apabila 
untuk 
untuk setiap 
Definisi ini ‘menuntut’ terlalu banyak, yakni memeriksa nilai 
untuk setiap
Ingat bahwa 
jika dan hanya jika 
dan 
bergantung linear. Dalam hal 
kita mempunyai jika dan hanya jika 
untuk suatu 
Jika kita juga mengetahui bahwa 
untuk suatu vektor 
maka 
Jadi, jika dan 
bebas linear, maka mestilah 
sehingga kita simpulkan bahwa 
Berdasarkan pengamatan di atas, kita dapat mendefinisikan suatu norma pada dengan cara mengambil sepasang vektor bebas linear dan dan kemudian mendefinisikan pemetaan
Pemetaan ini, atau pemetaan yang lebih umum
![\|x\|:=\left[ \|x,a\|^p+\|x,b\|^p \right]^{1/p},\quad x\in X,](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5C%7Cx%5C%7C%3A%3D%5Cleft%5B+%5C%7Cx%2Ca%5C%7C%5Ep%2B%5C%7Cx%2Cb%5C%7C%5Ep+%5Cright%5D%5E%7B1%2Fp%7D%2C%5Cquad+x%5Cin+X%2C&bg=%23ffffff&fg=%23000000&s=0&c=20201002 "\|x\|:=\left[ \|x,a\|^p+\|x,b\|^p \right]^{1/p},\quad x\in X,")
dengan 
merupakan norma pada 
Anda dapat memeriksa bahwa pemetaan di atas memenuhi ketiga sifat berikut:
1. 
dan 
jika dan hanya jika 
2. 
3. 
Dengan tersedianya norma pada 
kita dapat mendefinisikan konsep kekonvergenan barisan di sebagai berikut: Misal dan adalah sepasang vektor bebas linear di Barisan dikatakan konvergen ke apabila 
untuk 
Di ruang Euclid 
berdimensi 
yang dilengkapi dengan norma-2 standar, norma yang kita definisikan di atas, terlepas dari vektor dan yang kita pilih, senantiasa ekuivalen dengan norma biasa di 
Hasil penelitian saya selengkapnya tentang hal ini saya publikasikan bersama dengan Prof. Mashadi dari Universitas Riau, yang pada waktu itu sedang menempuh program doktor di sebuah universitas di Malaysia. Persisnya, kami berdua menulis paper berjudul “On finite dimensional 2-normed spaces” dan mempublikasikannya di Soochow Journal of Mathematics 27 (2001), 321-329.
*
Bandung, 02-10-2018
Like this:
Like Loading...
3 Comments