Norma di Ruang Bernorma-2

Kembali ke topik penelitian saya. Sebagaimana telah saya ceritakan sebelumnya, pada akhir dekade 1990-an, saya berkenalan dengan ruang bernorma-2. Yang menarik perhatian saya ketika itu adalah bagaimana kita mendefinisikan barisan konvergen di ruang bernorma-2.

Di ruang bernorma (X,\|\cdot\|), barisan (x_n) di X dikatakan konvergen ke x\in X apabila \|x_n-x\| \to 0 untuk n\to\infty. Sekarang, misal (X,\|\cdot,\cdot\|) adalah suatu ruang bernorma-2. Berbeda dengan norma yang mengukur panjang vektor, norma-2 mengukur luas jajaran genjang yang direntang oleh dua vektor. Bagaimana kita bisa menyimpulkan bahwa suatu vektor cukup dekat ke vektor lainnya dengan menggunakan norma-2?

Para peneliti sebelumnya mendefinisikan barisan (x_n) di X konvergen ke x\in X apabila \|x_n-x,y\| \to 0 untuk n\to\infty, untuk setiap y\in X. Definisi ini ‘menuntut’ terlalu banyak, yakni memeriksa nilai \|x_n-x,y\| untuk setiap y\in X.

Ingat bahwa \|x,a\|=0 jika dan hanya jika x dan a bergantung linear. Dalam hal a\not=0, kita mempunyai \|x,a\|=0 jika dan hanya jika x=\alpha a untuk suatu \alpha\in{\bf R}. Jika kita juga mengetahui bahwa \|x,b\|=0 untuk suatu vektor b, maka |\alpha|\,\|a,b\|=0. Jadi, jika a dan b bebas linear, maka mestilah \alpha=0, sehingga kita simpulkan bahwa x=0.

Berdasarkan pengamatan di atas, kita dapat mendefinisikan suatu norma pada X dengan cara mengambil sepasang vektor bebas linear a dan b dan kemudian mendefinisikan pemetaan

\|x\|:=\|x,a\|+\|x,b\|,\quad x\in X.

Pemetaan ini, atau pemetaan yang lebih umum

\|x\|:=\left[ \|x,a\|^p+\|x,b\|^p \right]^{1/p},\quad x\in X,

dengan 1\le p\le \infty, merupakan norma pada X. Anda dapat memeriksa bahwa pemetaan di atas memenuhi ketiga sifat berikut:

1. \|x\|\ge 0 dan \|x\|=0 jika dan hanya jika x=0,

2. \|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|,

3. \|x+y\|\le \|x\|+\|y\|.

Dengan tersedianya norma pada X, kita dapat mendefinisikan konsep kekonvergenan barisan di X sebagai berikut: Misal a dan b adalah sepasang vektor bebas linear di X. Barisan (x_n) dikatakan konvergen ke x\in X apabila \|x_n-x\|=\|x_n-x,a\|+\|x_n-x,b\|\to 0 untuk n\to \infty.

Di ruang Euclid {\bf R}^d berdimensi d\ge2 yang dilengkapi dengan norma-2 standar, norma yang kita definisikan di atas, terlepas dari vektor a dan b yang kita pilih, senantiasa ekuivalen dengan norma biasa di {\bf R}^d.

Hasil penelitian saya selengkapnya tentang hal ini saya publikasikan bersama dengan Prof. Mashadi dari Universitas Riau, yang pada waktu itu sedang menempuh program doktor di sebuah universitas di Malaysia. Persisnya, kami berdua menulis paper berjudul “On finite dimensional 2-normed spaces” dan mempublikasikannya di Soochow Journal of Mathematics 27 (2001), 321-329.

*

Bandung, 02-10-2018

 

Advertisements

1 Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s