Kembali ke topik penelitian saya. Sebagaimana telah saya ceritakan sebelumnya, pada akhir dekade 1990-an, saya berkenalan dengan ruang bernorma-2. Yang menarik perhatian saya ketika itu adalah bagaimana kita mendefinisikan barisan konvergen di ruang bernorma-2.
Di ruang bernorma barisan
di
dikatakan konvergen ke
apabila
untuk
Sekarang, misal
adalah suatu ruang bernorma-2. Berbeda dengan norma yang mengukur panjang vektor, norma-2 mengukur luas jajaran genjang yang direntang oleh dua vektor. Bagaimana kita bisa menyimpulkan bahwa suatu vektor cukup dekat ke vektor lainnya dengan menggunakan norma-2?
Para peneliti sebelumnya mendefinisikan barisan di
konvergen ke
apabila
untuk
untuk setiap
Definisi ini ‘menuntut’ terlalu banyak, yakni memeriksa nilai
untuk setiap
Ingat bahwa jika dan hanya jika
dan
bergantung linear. Dalam hal
kita mempunyai
jika dan hanya jika
untuk suatu
Jika kita juga mengetahui bahwa
untuk suatu vektor
maka
Jadi, jika
dan
bebas linear, maka mestilah
sehingga kita simpulkan bahwa
Berdasarkan pengamatan di atas, kita dapat mendefinisikan suatu norma pada dengan cara mengambil sepasang vektor bebas linear
dan
dan kemudian mendefinisikan pemetaan
Pemetaan ini, atau pemetaan yang lebih umum
dengan merupakan norma pada
Anda dapat memeriksa bahwa pemetaan di atas memenuhi ketiga sifat berikut:
1. dan
jika dan hanya jika
2.
3.
Dengan tersedianya norma pada kita dapat mendefinisikan konsep kekonvergenan barisan di
sebagai berikut: Misal
dan
adalah sepasang vektor bebas linear di
Barisan
dikatakan konvergen ke
apabila
untuk
Di ruang Euclid berdimensi
yang dilengkapi dengan norma-2 standar, norma yang kita definisikan di atas, terlepas dari vektor
dan
yang kita pilih, senantiasa ekuivalen dengan norma biasa di
Hasil penelitian saya selengkapnya tentang hal ini saya publikasikan bersama dengan Prof. Mashadi dari Universitas Riau, yang pada waktu itu sedang menempuh program doktor di sebuah universitas di Malaysia. Persisnya, kami berdua menulis paper berjudul “On finite dimensional 2-normed spaces” dan mempublikasikannya di Soochow Journal of Mathematics 27 (2001), 321-329.
*
Bandung, 02-10-2018
3 Comments