Norma di Ruang Bernorma-2

Kembali ke topik penelitian saya. Sebagaimana telah saya ceritakan sebelumnya, pada akhir dekade 1990-an, saya berkenalan dengan ruang bernorma-2. Yang menarik perhatian saya ketika itu adalah bagaimana kita mendefinisikan barisan konvergen di ruang bernorma-2.

Di ruang bernorma barisan di dikatakan konvergen ke apabila untuk Sekarang, misal adalah suatu ruang bernorma-2. Berbeda dengan norma yang mengukur panjang vektor, norma-2 mengukur luas jajaran genjang yang direntang oleh dua vektor. Bagaimana kita bisa menyimpulkan bahwa suatu vektor cukup dekat ke vektor lainnya dengan menggunakan norma-2?

Para peneliti sebelumnya mendefinisikan barisan  di konvergen ke apabila untuk untuk setiap Definisi ini ‘menuntut’ terlalu banyak, yakni memeriksa nilai untuk setiap

Ingat bahwa jika dan hanya jika dan bergantung linear. Dalam hal kita mempunyai jika dan hanya jika untuk suatu Jika kita juga mengetahui bahwa untuk suatu vektor maka Jadi, jika dan bebas linear, maka mestilah sehingga kita simpulkan bahwa

Berdasarkan pengamatan di atas, kita dapat mendefinisikan suatu norma pada dengan cara mengambil sepasang vektor bebas linear dan dan kemudian mendefinisikan pemetaan

Pemetaan ini, atau pemetaan yang lebih umum

dengan merupakan norma pada Anda dapat memeriksa bahwa pemetaan di atas memenuhi ketiga sifat berikut:

1. dan  jika dan hanya jika

2.

3.

Dengan tersedianya norma pada kita dapat mendefinisikan konsep kekonvergenan barisan di sebagai berikut: Misal dan adalah sepasang vektor bebas linear di Barisan dikatakan konvergen ke apabila untuk

Di ruang Euclid berdimensi yang dilengkapi dengan norma-2 standar, norma yang kita definisikan di atas, terlepas dari vektor dan yang kita pilih, senantiasa ekuivalen dengan norma biasa di

Hasil penelitian saya selengkapnya tentang hal ini saya publikasikan bersama dengan Prof. Mashadi dari Universitas Riau, yang pada waktu itu sedang menempuh program doktor di sebuah universitas di Malaysia. Persisnya, kami berdua menulis paper berjudul “On finite dimensional 2-normed spaces” dan mempublikasikannya di Soochow Journal of Mathematics 27 (2001), 321-329.

*

Bandung, 02-10-2018