Hasil Kali Dalam di Ruang Hasil Kali Dalam-n

Dua minggu yang lalu, saya telah menjelaskan bahwa di ruang bernorma-2, kita dapat mendefinisikan norma. Demikian juga di ruang bernorma-n (X,\|\cdot,\dots,\cdot\|), kita dapat mendefinisikan norma

\|x\|:=\sum\limits_{\{i_2,\dots,i_n\}\subset\{1,\dots,n\}} \|x,a_{i_2},\dots,a_{i_n}\|,

dengan \{a_1,a_2,\dots,a_n\} merupakan suatu himpunan bebas linear di X. Jadi, bermodalkan alat ukur volume, kita dapat membuat alat ukur panjang. Lucu kan?

Dengan adanya norma yang diinduksi dari norma-n, kita dapat membahas banyak hal di ruang bernorma-n. Sebagai contoh, kita dapat membuktikan Teorema Titik Tetap di ruang bernorma-n, dengan menggunakan pengetahuan kita tentang ruang bernorma. Lihat paper “On n-normed spaces” yang saya publikasikan pada tahun 2001, bersama dengan Prof. Mashadi dari Universitas Riau.

Nah, serupa dengan itu, di ruang hasil kali dalam-n, kita dapat mendefinisikan hasil kali dalam. Persisnya, misalkan (X,\langle\cdot,\cdot|\cdot,\dots,\cdot\rangle) adalah suatu ruang hasil kali dalam-n, dan \{a_1,a_2,\dots,a_n\} adalah suatu himpunan bebas linear di X. Maka, pemetaan \langle \cdot,\cdot\rangle : X \times X\to {\bf R} yang didefinisikan dengan rumus

\langle x,y\rangle :=\sum\limits_{\{i_2,\dots,i_n\}\subset\{1,\dots,n\}} \langle x,y|a_{i_2},\dots,a_{i_n}\rangle,

merupakan hasil kali dalam pada X.

Bila hasil kali dalam-n \langle x,y|x_2,\dots,x_n\rangle mengukur sudut yang dibentuk oleh subruang yang direntang oleh x, x_2,\dots,x_n dan subruang yang direntang oleh y, x_2,\dots,x_n, hasil kali dalam yang diinduksi dari hasil kali dalam-n melalui rumus di atas mengukur sudut yang dibentuk oleh vektor x dan vektor y.

Hasil penelitian terkait topik ini saya tuangkan dalam paper berjudul “Inner products on n-inner product spaces” yang terbit di Soochow J. Math. 28 (2002), 389-398.

*

Bandung, 16-10-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s