Ruang Hasil Kali Dalam-n

Pada tahun 2000, saya mendapat Australia-Indonesia Merdeka Fellowship dari Pemerintah Australia yang memberikan kesempatan kepada saya untuk melakukan penelitian di Australia, khususnya di University of New South Wales, selama satu tahun penuh, terhitung mulai bulan Juli 2000. Selama satu tahun tersebut, saya meneliti tentang dua topik berbeda. Yang pertama tentang keterbatasan operator Laplace pangkat imajiner, dan yang kedua tentang ruang bernorma-n dan ruang hasil kali dalam-n.

Konsep ruang bernorma-n telah saya perkenalkan dalam artikel sebelumnya. Hasil penelitian saya tentang ruang bernorma-n dapat Anda baca dalam paper “On n-normed spaces“, yang terbit di Int. J. Math. Math. Sci. 27 (2001), 631-639. Sekarang, saya akan menjelaskan tentang ruang hasil kali dalam-n.

Misal X adalah ruang vektor berdimensi d\ge n+1. Pemetaan \langle \cdot,\cdot|\cdot,\dots,\cdot\rangle : X\times X\times X\times \cdots\times X \to {\bf R} yang bersifat:

  1. \langle x_1,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle \ge 0 dan \langle x_1,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle = 0 jika dan hanya jika x_1,x_2,\dots,x_n bergantung linear,
  2. \langle x_1,x_1|x_2,\dots,x_n \rangle = \langle x_{i_1},x_{i_1}|x_{i_2},\dots,x_{i_n}\rangle untuk setiap permutasi \{i_1,i_2,\dots,i_n\} dari \{1,2,\dots,n\},
  3. \langle x_0,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle = \langle x_1,x_0|x_2,\dots,x_n\rangle untuk setiap x_0,x_1,x_2,\dots,x_n \in X,
  4. \langle \alpha x_0,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle = \alpha \langle x_0,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle untuk setiap x_0,x_1,x_2,\dots,x_n\in X dan \alpha \in {\bf R},
  5. \langle x_0+x_0^*,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle = \langle x_0,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle + \langle x_0^*,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle untuk setiap x_0,x_0^*,x_1,x_2,\dots,x_n\in X,

disebut hasil kali dalam-n, dan pasangan (X,\langle\cdot,\cdot|\cdot,\dots,\cdot\rangle) disebut ruang hasil kali dalam-n.

Di ruang hasil kali dalam-n (X,\langle \cdot,\cdot|\cdot,\dots,\cdot\rangle), pemetaan

\|x_1,x_2,\dots,x_n\| := \langle x_1,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle^{\frac12}

merupakan norma-n pada X. Ketaksamaan segitiga untuk norma-n ini dapat dibuktikan dengan terlebih dahulu membuktikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz:

\langle x_0,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle^2 \le \langle x_0,x_0|x_2,\dots,x_n\rangle \langle x_1,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle.

Jika (X,\langle \cdot,\cdot\rangle) adalah ruang hasil kali dalam, maka kita dapat mendefinisikan hasil kali dalam-n di bawah ini pada X:

\langle x_0,x_1|x_2,\dots,x_{n}\rangle:=\left|\begin{array}{cccc} \langle x_0,x_1\rangle & \langle x_0,x_2\rangle & \cdots & \langle x_0,x_n\rangle\\ \langle x_2,x_1\rangle & \langle x_2,x_2\rangle & \cdots & \langle x_2,x_n\rangle\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle x_n,x_1\rangle & \langle x_n,x_2\rangle & \cdots & \langle x_n,x_n\rangle\\ \end{array}\right|.

Hasil kali dalam-n ini dikenal sebagai hasil kali dalam-n standar. Norma-n yang diinduksi dari hasil kali dalam-n ini merupakan norma-n standar, yang secara geometris menyatakan volume paralelpipedium yang direntang oleh vektor-vektor x_1,x_2,\dots,x_n. Hasil penelitian tentang ruang hasil kali dalam-n selengkapnya saya tuangkan dalam paper “On n-inner products, n-norms, and the Cauchy-Schwarz inequality“, yang terbit di Scientiae Mathematicae Japonica 55 (2002), 53-60.

*

Bandung, 09-10-2018

Advertisements

1 Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s