Kekonvergenan di Ruang Hasil Kali Dalam-n

Masih terkait dengan ruang bernorma-n, pada tahun 2002 saya juga mempelajari kekonvergenan barisan di ruang hasil kali dalam-n. Pada dasarnya, hasil yang saya peroleh merupakan perumuman dari apa yang berlaku di ruang hasil kali dalam.

Misal X adalah ruang vektor (real) yang dilengkapi dengan hasil kali dalam \langle\cdot,\cdot\rangle dan norma \|\cdot\|:=\langle \cdot,\cdot\rangle^{1/2}. Sebuah barisan (x_k) di X dikatakan konvergen ke suatu x\in X apabila \|x_k-x\|\to 0 untuk k\to\infty. Kekonvergenan ini dikenal sebagai ‘kekonvergenan dalam norma’ di X.

Selain itu, kita juga mengenal ‘kekonvergenan lemah’ di X. Persisnya, barisan (x_k) dikatakan konvergen lemah ke x\in X apabila \lim\limits_{k\to \infty} \langle x_k-x,y\rangle = 0 untuk setiap y\in X.

Kekonvergenan dalam norma lebih kuat daripada kekonvergenan lemah: jika (x_k) konvergen dalam norma ke x, maka (x_k) konvergen lemah ke x. Fakta ini merupakan akibat dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz: |\langle x_k-x,y\rangle| \le \|x_k-x\|\,\|y\|.

Kebalikan dari implikasi di atas tidak berlaku. Sebagai contoh, di ruang barisan \ell^2 yang dilengkapi dengan hasil kali dalam \langle x,y\rangle:=\sum\limits_{j=1}^\infty x_jy_j, barisan (e_k) dengan suku ke-j e_{kj}=0 bila j\not=k dan suku ke-k e_{kk}=1 merupakan barisan yang konvergen lemah ke {\bf 0}:=(0,0,0,\dots) karena \lim\limits_{k\to\infty} \langle e_k,y\rangle = \lim\limits_{k\to\infty} y_k=0 untuk setiap y=(y_k)\in \ell^2. Tetapi, barisan (e_k) tidak konvergen dalam norma ke {\bf 0} karena \|e_k-{\bf 0}\|=1 untuk setiap k.

Nah, bila Anda penasaran bagaimana perumumannya di ruang hasil kali dalam-n, sila baca paper saya yang berjudul “On convergence in n-inner product spaces“, yang dipublikasikan di Bull. Malaysian Math. Sci. Soc. 25 (2002), 11-16.

*

Bandung, 06-11-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s