Masih ingat ruang Lebesgue yang telah kita bahas sebelumnya? Nah, untuk
ruang
mempunyai struktur geometris yang lebih kaya dibandingkan dengan ruang
Di kita dapat mendefinisikan hasil kali dalam
dengan rumus
Dalam hal ini, merupakan suatu ruang hasil kali dalam.
Perhatikan bahwa hasil kali dalam yang didefinisikan dengan rumus di atas memenuhi empat sifat berikut:
untuk setiap
dan
jika dan hanya jika
hampir di mana-mana;
untuk setiap
untuk setiap
dan
untuk setiap
dan
Catat juga bahwa merupakan norma di
Selain jarak, di
kita dapat pula berbicara tentang sudut yang dibentuk oleh dua fungsi, yang didefinisikan melalui
Di balik rumus ini, ada ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang menjamin bahwa
Ketaksamaan ini jugalah yang memastikan bahwa memenuhi ketaksamaan segitiga. Persisnya, kita amati bahwa
yang memberikan
Dua fungsi f dan g di dikatakan ortogonal apabila
Dengan adanya sudut di
kita juga dapat berbicara tentang projeksi ortogonal dari suatu fungsi terhadap fungsi lainnya di
seperti halnya projeksi ortogonal dari suatu vektor terhadap vektor lainnya di
Dengan berbagai fasilitas ini, teori deret Fourier dapat dijelaskan dengan gamblang di
*
Bandung, 01-09-2018
3 Comments