Ruang L^2 dan Ruang Hasil Kali Dalam

Masih ingat ruang Lebesgue $L^p=L^p({\bf R}^n)$ yang telah kita bahas sebelumnya? Nah, untuk $p = 2,$ ruang $L^2$ mempunyai struktur geometris yang lebih kaya dibandingkan dengan ruang $L^p,\ p\not=2.$

Di $L^2,$ kita dapat mendefinisikan hasil kali dalam $\langle\cdot,\cdot\rangle : L^2 \times L^2 \to {\bf R}$ dengan rumus

$\langle f,g\rangle := \int_{{\bf R}^n} f(x)g(x)\,dx,\quad f,g\in L^2.$

Dalam hal ini, $(L^2,\langle \cdot,\cdot\rangle)$ merupakan suatu ruang hasil kali dalam.

Perhatikan bahwa hasil kali dalam yang didefinisikan dengan rumus di atas memenuhi empat sifat berikut:

$\langle f,f\rangle \ge 0$ untuk setiap $f\in L^2,$ dan $\langle f,f\rangle =0$ jika dan hanya jika $f\equiv 0$ hampir di mana-mana;
$\langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle$ untuk setiap $f,g\in L^2;$
$\langle f+g,h\rangle =\langle f,h\rangle + \langle g,h\rangle$ untuk setiap $f,g,h \in L^2;$ dan
$\langle \alpha f,g\rangle=\alpha \langle f,g\rangle$ untuk setiap $f,g\in L^2$ dan $\alpha\in{\bf R}.$

Catat juga bahwa $\|f\|=\langle f,f\rangle^{1/2}$ merupakan norma di $L^2,$ Selain jarak, di $L^2$ kita dapat pula berbicara tentang sudut yang dibentuk oleh dua fungsi, yang didefinisikan melalui

$\cos \theta = \frac{\langle f,g\rangle}{\|f\| \|g\|},\quad f,g\in L^2\setminus\{0\}.$

Di balik rumus ini, ada ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang menjamin bahwa

$|\langle f,g\rangle| \le \|f\| \|g\|,\quad f,g\in L^2.$

Ketaksamaan ini jugalah yang memastikan bahwa $\|\cdot\|$ memenuhi ketaksamaan segitiga. Persisnya, kita amati bahwa

$\|f+g\|^2=\langle f+g,f+g\rangle = \langle f,f\rangle +2\langle f,g\rangle + \langle g,g\rangle \le (\|f\|+\|g\|)^2,$

yang memberikan $\|f+g\| \le \|f\|+\|g\|.$

Dua fungsi f dan g di $L^2$ dikatakan ortogonal apabila $\langle f,g\rangle=0.$ Dengan adanya sudut di $L^2,$ kita juga dapat berbicara tentang projeksi ortogonal dari suatu fungsi terhadap fungsi lainnya di $L^2,$ seperti halnya projeksi ortogonal dari suatu vektor terhadap vektor lainnya di ${\bf R}^n.$ Dengan berbagai fasilitas ini, teori deret Fourier dapat dijelaskan dengan gamblang di $L^2.$

Bandung, 01-09-2018

	Prinsip Induksi Kuat… on Teorema Dasar Aritmetik
	Prinsip Induksi Kuat… on Prinsip Induksi Matematika
	Hendra Gunawan on Prinsip Induksi Matematika
	wahyu on Prinsip Induksi Matematika
	wahyu on Prinsip Induksi Matematika

	Prinsip Induksi Kuat… on Teorema Dasar Aritmetik
	Prinsip Induksi Kuat… on Prinsip Induksi Matematika
	Hendra Gunawan on Prinsip Induksi Matematika
	wahyu on Prinsip Induksi Matematika
	wahyu on Prinsip Induksi Matematika

Ruang L^2 dan Ruang Hasil Kali Dalam

Published by Hendra Gunawan

3 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Like this:

Published by Hendra Gunawan

3 Comments

Leave a Reply Cancel reply