Fungsi Maksimal Diperumum

Hendra Gunawan

Memenuhi janji saya, sekarang saya akan bercerita tentang topik paper pertama saya, yaitu berkaitan dengan keterbatasan fungsi maksimal diperumum (generalized maximal function) pada ruang Lebesgue L^2({\bf R}^n).

Dalam artikel yang saya posting pada tanggal 21-08-2018, saya telah memperkenalkan fungsi maksimal Hardy-Littlewood. Nah, bila kita ganti bola B(x,r) dalam definisi fungsi maksimal tersebut dengan permukaan bola S(x,r), misalnya, maka kita peroleh fungsi maksimal permukaan bola (spherical maximal function), yaitu

M_\sigma f(x):=\sup\limits_{r>0} \frac{1}{\sigma(S(x,r))} \int_{S(x,r)} |f(y)|\,d\sigma(y),

dengan S(x,r) menyatakan permukaan bola yang berpusat di x dan berjari-jari r, d\sigma menyatakan ukuran permukaan bola, dan \sigma(S(x,r)) menyatakan ‘luas’ permukaan bola S(x,r). [Dalam hal ini, \int_{S(x,r)} d\sigma(y)=\sigma(S(x,r)). Di {\bf R}^3, \sigma(S(0,r))=4\pi r^2.]

Bila dalam definisi fungsi maksimal Hardy-Littlewood kita menghitung nilai rata-rata f pada setiap bola yang berpusat di x, lalu menghitung supremumnya terhadap semua r > 0, maka dalam fungsi maksimal permukaan bola kita menghitung nilai rata-rata f pada setiap permukaan bola yang berpusat di x, lalu menghitung supremumnya terhadap semua r > 0.

Pada tahun 1976, Elias Stein (pembimbing Charles Fefferman dan Terence Tao) membuktikan bahwa operator M_\sigma : f \to M_\sigma f merupakan operator terbatas pada ruang L^p({\bf R}^n) untuk \frac{n}{n-1} <p\le \infty.

Lalu apa yang saya kaji dalam paper pertama saya? Saya mempelajari fungsi maksimal yang lebih umum, yakni

M_\phi f(x):=\sup\limits_{r>0} \int_{{\bf R}^n} \phi_r(y)f(x-y)\,dy,

dengan \phi=\phi_1 menyatakan fungsi sembarang pada {\bf R}^n dan \phi_r(x)=r^{-n}\phi(x/r).

Perhatikan jika \phi(x)=\frac{1}{|B(0,1)|}\chi_{B(0,1)}(x), maka

M_\phi |f|(x)=\sup\limits_{r>0} \frac{1}{|B(0,r)|}\int_{B(0,r)} |f(x-y)|\,dy=\sup\limits_{r>0} \frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} |f(y)|\,dy,

yang tak lain adalah fungsi maksimal Hardy-Littlewood. Untuk fungsi \phi lainnya, kita dapat memperoleh fungsi maksimal permukaan bola.

Nah, saya meneliti syarat cukup untuk ukuran \phi yang menjamin keterbatasan fungsi maksimal diperumum M_\phi pada ruang L^2({\bf R}^n). Dengan menggunakan transformasi Fourier dan lain-lain, saya mendapatkan jika transformasi Fourier dari \phi_r memenuhi orde peluruhan (decay) tertentu terhadap r, maka operator maksimal M_\phi akan terbatas pada ruang L^2({\bf R}^n). Sila baca papernya di sini bila Anda tertarik.

Paper tentang fungsi maksimal diperumum merupakan paper pertama saya, yang saya kirimkan ke Bollettino Unione Matematica Italiano pada bulan Juni tahun 1991. Sebelumnya, saya mengirimkan paper tersebut ke jurnal lain, tetapi ditolak! Setelah saya perbaiki, saya kirimkan ke Buletin tersebut dan paper pertama saya diterima dan terbit pada bulan Juli tahun 1993.

Secara paralel, pada saat itu, saya juga telah menulis paper lainnya, yang saya kirimkan ke jurnal lain pada bulan Maret tahun 1991. Paper kedua ini justru diterima dan terbit lebih awal daripada paper pertama, yaitu pada bulan November tahun 1992. Apa yang saya tulis pada paper kedua akan saya ceritakan pada postingan Selasa depan.

*

Bandung, 28-08-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s