Hukum Jajaran Genjang di Ruang Hasil Kali Dalam

Di ruang Euclid {\bf R}^n, berlaku Hukum Jajaran Genjang

\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2,

untuk setiap x,y\in{\bf R}^n. Nah, secara umum, Hukum Jajaran Genjang berlaku di ruang hasil kali dalam (X,\langle \cdot,\cdot\rangle), dengan norma \|x\|:=\langle x,x\rangle^{1/2}.

Buktinya mudah, kita tinggal menghitung kedua suku di ruas kiri:

\|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle = \|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2,

dan

\|x-y\|^2=\langle x-y,x-y\rangle = \|x\|^2-2\langle x,y\rangle+\|y\|^2,

lalu jumlahkan, sehingga kita peroleh bentuk di ruas kanan.

Hukum Jajaran Genjang menjadi penciri norma yang diinduksi dari hasil kali dalam. Jika kita sedang berada di ruang bernorma dan kita ingin tahu apakah normanya berasal dari suatu ruang hasil kali dalam, kita tinggal memeriksa keberlakuan Hukum Jajaran Genjang.

Jika Hukum Jajaran Genjang berlaku, maka kita dapat merekonstruksi hasil kali dalam dari norma yang ada, melalui

\langle x,y\rangle := \frac14 \left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).

Sila periksa bahwa pemetaan \langle \cdot,\cdot\rangle ini memang memenuhi sifat-sifat hasil kali dalam.

*

Bandung, 20-10-2018

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s