Hasil Kali Dalam yang Membuat Sejumlah Vektor Ortonormal

Hendra Gunawan,

Pada tahun 2001, di antara kegiatan penelitian saya di University of New South Wales, saya menemukan aplikasi hasil kali dalam yang diinduksi dari hasil kali dalam-n.

Diberikan himpunan bebas linear \{a_1, \dots, a_n\} di suatu ruang hasil kali dalam (X,\langle \cdot,\cdot\rangle) berdimensi d\ge n, kita dapat menerapkan proses Gram-Schmidt terhadap himpunan tersebut untuk mendapatkan himpunan ortonormal \{a_1^*,\dots,a_n^*\}. Pengetahuan tentang hal ini dapat Anda peroleh dari buku Aljabar Linear Elementer atau sejenisnya.

Nah, pertanyaannya sekarang, tanpa mengutak-utik himpunan \{a_1, \dots, a_n\}, bagaimanakah caranya mendapatkan hasil kali dalam baru \langle \cdot,\cdot\rangle^* dari hasil kali dalam lama \langle \cdot,\cdot\rangle sedemikian sehingga himpunan \{a_1, \dots, a_n\} menjadi himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam baru tersebut?

Jawabannya adalah: dengan menggunakan hasil kali dalam-n standar \langle \cdot,\cdot|\cdot,\dots,\cdot\rangle pada X (yang telah diperkenalkan minggu lalu di blog ini), yaitu

\langle x_0,x_1|x_2,\dots,x_n\rangle:=\left|\begin{array}{cccc} \langle x_0,x_1\rangle & \langle x_0,x_2\rangle & \cdots & \langle x_0,x_n\rangle\\ \langle x_2,x_1\rangle & \langle x_2,x_2\rangle & \cdots & \langle x_2,x_n\rangle\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle x_n,x_1\rangle & \langle x_n,x_2\rangle & \cdots & \langle x_n,x_n\rangle\\ \end{array}\right|,

dan mendefinisikan hasil kali dalam

\langle x,y\rangle^* := \|a_1,\dots,a_n\|^{-2} \sum\limits_{\{i_2,\dots,i_n\}\subset\{1,\dots,n\}} \langle x,y|a_{i_2},\dots,a_{i_n}\rangle.

Dapat diperiksa bahwa himpunan \{a_1, \dots, a_n\} merupakan himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam ini. Lebih jauh, jika \langle x, a_i\rangle=0, maka \langle x,a_i\rangle^*=0 untuk setiap i=1,\dots,n. Dalam perkataan lain, hasil kali dalam \langle\cdot,\cdot\rangle^* mempertahankan komplemen ortogonal dari subruang yang direntang oleh himpunan \{a_1, \dots, a_n\}.

Bila Anda tertarik mempelajari detilnya, sila baca paper saya yang berjudul “An inner product that makes a set of vectors orthonormal” yang terbit di Gazette of the Australian Math. Soc. 28 (2001).

*

Bandung, 23-20-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s