Proses Ortonormalisasi Gram-Schmidt

Dalam artikel tentang projeksi ortogonal, saya telah menjelaskan bagaimana kita mendapatkan projeksi ortogonal (dan komplemen ortogonal) dari sebuah vektor u ke suatu subruang V yang direntang oleh vektor-vektor di ruang Euclid

Nah, bila vektor-vektor memiliki norma 1 dan tegak lurus satu terhadap yang lainnya, maka projeksi ortogonal u terhadap V dapat diperoleh dengan mudah, yaitu

dengan menyatakan hasil kali dalam biasa di

Himpunan vektor dengan untuk setiap dan untuk disebut himpunan ortonormal. Secara umum, jika kita memiliki suatu himpunan ortonormal, maka banyak kemudahan yang akan kita peroleh. Karena itu, diberikan himpunan bebas linear kita bertanya: bagaimanakah kita mendapatkan himpunan ortonormal dari himpunan tersebut. Jawabannya adalah: dengan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt.

Pertama, kita normalisasi vektor dengan membaginya dengan normanya, sebutlah hasilnya

Setelah itu, kita garap Kita tentukan projeksi ortogonal terhadap dan kita tentukan komplemen ortogonalnya, yaitu

Lalu kita normalisasi vektor dan sebutlah hasilnya

Selanjutnya, kita garap Kita tentukan projeksi ortogonal terhadap subruang yang direntang oleh dan dan kita tentukan komplemen ortogonalnya, yaitu:

Lalu kita normalisasi vektor dan sebutlah hasilnya

Bila kita ulangi langkah serupa hingga vektor terakhir, yaitu maka kita peroleh suatu himpunan ortonormal

Sebagai ilustrasi, dengan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt, diberikan himpunan vektor kita akan memperoleh himpunan ortonormal

*

Bandung, 27-10-2018