Proses Ortonormalisasi Gram-Schmidt

Dalam artikel tentang projeksi ortogonal, saya telah menjelaskan bagaimana kita mendapatkan projeksi ortogonal (dan komplemen ortogonal) dari sebuah vektor u ke suatu subruang V yang direntang oleh vektor-vektor v_1,\dots,v_n di ruang Euclid {\bf R}^d.

Nah, bila vektor-vektor v_1,\dots,v_n memiliki norma 1 dan tegak lurus satu terhadap yang lainnya, maka projeksi ortogonal u terhadap V dapat diperoleh dengan mudah, yaitu

{\rm proj}_V(u)=\sum\limits_{i=1}^n \langle u,v_i\rangle v_i,

dengan \langle \cdot,\cdot\rangle menyatakan hasil kali dalam biasa di {\bf R}^d.

Himpunan vektor v_1,\dots,v_n, dengan \|v_i\|=1 untuk setiap i=1,\dots,n dan \langle v_i,v_j\rangle = 0 untuk i\not=j disebut himpunan ortonormal. Secara umum, jika kita memiliki suatu himpunan ortonormal, maka banyak kemudahan yang akan kita peroleh. Karena itu, diberikan himpunan bebas linear v_1,\dots,v_n, kita bertanya: bagaimanakah kita mendapatkan himpunan ortonormal dari himpunan tersebut. Jawabannya adalah: dengan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt.

Pertama, kita normalisasi vektor v_1 dengan membaginya dengan normanya, sebutlah hasilnya v_1^*:

v_1^*:=\frac{v_1}{\|v_1\|}.

Setelah itu, kita garap v_2. Kita tentukan projeksi ortogonal v_2 terhadap v_1^* dan kita tentukan komplemen ortogonalnya, yaitu

v_2^\perp:=v_2-{\rm proj}_{v_1^*}(v_2)=v_2-\langle v_2,v_1^*\rangle v_1^*.

Lalu kita normalisasi vektor v_2^\perp, dan sebutlah hasilnya v_2^*.

Selanjutnya, kita garap v_3. Kita tentukan projeksi ortogonal v_3 terhadap subruang yang direntang oleh v_1^* dan v_2^*, dan kita tentukan komplemen ortogonalnya, yaitu:

v_3^\perp:=v_3-\langle v_3,v_1^*\rangle v_1^*-\langle v_3,v_2^*\rangle v_2^*.

Lalu kita normalisasi vektor v_3^\perp, dan sebutlah hasilnya v_3^*.

Bila kita ulangi langkah serupa hingga vektor terakhir, yaitu v_n, maka kita peroleh suatu himpunan ortonormal \{v_1^*,\dots,v_n^*\}.

Sebagai ilustrasi, dengan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt, diberikan himpunan vektor \{(1,2,2), (3,2,1), (1,-2,3)\}, kita akan memperoleh himpunan ortonormal \{(\frac13,\frac23,\frac23), (\frac{2}{\sqrt{5}},0,-\frac{1}{\sqrt{5}}), (\frac{16}{15},-\frac{40}{15},\frac{32}{15})\}.

*

Bandung, 27-10-2018

Advertisements

1 Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s