Ruang Barisan-p dan Norma-n Naturalnya

Tahun 2001 adalah tahun yang menggembirakan dalam perjalanan karier saya sebagai matematikawan. Pada tahun itu, saya bisa menulis cukup banyak paper. Beberapa di antaranya telah saya ulas di blog ini. Nah, ada satu paper lagi yang belum saya ceritakan, yaitu paper yang berjudul “The space of p-summable sequences and its natural n-norm“. Paper ini diterbitkan di Bulletin of the Australian Math. Soc. 64 (2001), 137-147.

Dalam paper tersebut, saya mempelajari ruang barisan \ell^p,\ 1\le p\le\infty, yang beranggotakan barisan bilangan real x:=(x_k) dengan \|x\|_p := \Bigl[ \sum\limits_{k=1}^\infty |x_k|^p \Bigr]^{1/p}<\infty. Pemetaan \|\cdot\|_p merupakan norma pada \ell^p. Untuk p=2, ruang barisan \ell^2 merupakan ruang hasil kali dalam dengan hasil kali dalam \langle x,y\rangle:=\sum\limits_{k=1}^\infty x_ky_k.

Apa yang menjadi perhatian saya pada saat itu adalah: bagaimana saya dapat mendefinisikan norma-n pada \ell^p? Lalu, bila saya mempunyai norma-n pada \ell^p dan saya tinjau norma yang diinduksi olehnya, apakah norma tersebut akan ekuivalen dengan norma di atas? Pada ruang berdimensi terhingga, dua norma sembarang senantiasa ekuivalen. Pada \ell^p yang berdimensi tak terhingga, tidak ada jaminan tersebut.

Dengan mengamati bahwa untuk n=2, norma-2 standar pada \ell^2 adalah

\begin{array}{rl}\|x,y\|_2 &= \left|\begin{array}{cc}\langle x,x\rangle & \langle x,y\rangle\\ \langle y,x\rangle & \langle y,y\rangle \end{array}\right|^{1/2}\\ &= \left|\begin{array}{cc}\sum_j x_j^2 & \sum_j x_jy_j\\ \sum_j y_jx_j & \sum_j y_j^2 \end{array}\right|^{1/2}\\ &= \left[ \frac{1}{2} \sum\limits_j \sum\limits_k \left|\begin{array}{cc} x_j & x_k\\ y_j & y_k \end{array}\right|^2\right]^{1/2},\end{array}

saya kemudian mendefinisikan norma-2 pada \ell^p dengan rumus

\|x,y\|_p:= = \left[ \frac{1}{2} \sum\limits_j \sum\limits_k \left|\begin{array}{cc} x_j & x_k\\ y_j & y_k \end{array}\right|^p\right]^{1/p}.

[Tentu saja rumus di atas perlu diberi interpretasi khusus bila p=\infty.]

Anda dapat memeriksa bahwa deret di ruas kanan konvergen dan

\|x,y\|_p \le 2^{1-\frac{1}{p}} \|x\|_p\|y\|_p

untuk setiap x,y\in\ell^p.

Selanjutnya, terkait dengan pertanyaan saya yang kedua, bila kita ambil a_1:=(1,0,0,0,\dots) dan a_2:=(0,1,0,0,\dots), maka kita dapat mendefinisikan norma \|\cdot\|_p^* pada \ell^p dengan rumus

\|x\|_p^*:=\bigl[ \|x,a_1\|_p^p +\|x,a_2\|_p^p\bigr]^{1/p}.

Di sini, kita dapat memeriksa bahwa \|\cdot\|_p^* ekuivalen dengan \|\cdot\|_p. Persisnya, kita mempunyai

\|x\|_p \le \|x\|_p^* \le 2^{1/p}\|x\|_p

untuk setiap x\in\ell^p.

Dengan pengamatan tersebut di atas, kita dapat mendefinisikan pula norma-n pada \ell^p dan membuktikan bahwa norma yang diinduksi dari norma-n tersebut ekuivalen dengan norma biasa pada \ell^p. Sila unduh paper di atas dan pelajari beberapa fakta menarik lainnya yang saya temukan pada waktu itu.

*

Bandung, 30-10-2018

Advertisements

3 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s