Ketaksamaan Hadamard

Hendra Gunawan

Dalam beberapa artikel sebelumnya, saya telah memperkenalkan volume paralelpipedium berdimensi n yang direntang oleh vektor v_1,v_2,\dots,v_n di ruang Euclid {\bf R}^d dengan d\ge n, yang diberikan oleh rumus

\|v_1,v_2,\dots,v_n\| = (\det [\langle v_i,v_j\rangle ])^{1/2},

dengan \langle \cdot,\cdot\rangle menyatakan hasil kali dalam biasa di {\bf R}^d. (Bayangkan luas jajaran genjang yang direntang oleh vektor v_1 dan v_2 di {\bf R}^3 atau volume paralelpipedium yang direntang oleh vektor v_1,\ v_2, dan v_3 di {\bf R}^5.)

Determinan matriks n \times n dengan elemen \langle v_i,v_j\rangle pada baris ke-i, kolom ke-j, dikenal sebagai determinan Gram. Determinan ini secara umum bernilai taknegatif, dan hanya bernilai 0 ketika himpunan vektor v_1,v_2,\dots,v_n bergantung linear.

Nah, dari pengamatan terhadap luas jajaran genjang dan volume paralelpipedium berdimensi 3, kita melihat bahwa luas dan volume senantiasa lebih kecil daripada hasil kali panjang rusuk-rusuknya. Secara umum, kita mempunyai ketaksamaan

\|v_1,v_2,\dots,v_n\| \le \|v_1\|\,\|v_2\| \cdots \|v_n\|,

yang dikenal sebagai ketaksamaan Hadamard.

Bukti ketaksamaan ini relatif mudah, hanya menggunakan sifat-sifat determinan, sifat-sifat hasil kali dalam, dan ortogonalisasi Gram-Schmidt (yang serupa dengan ortonormalisasi Gram-Schmidt, tetapi tanpa proses normalisasi).

Sebagai ilustrasi, misalkan kita hendak menghitung luas jajaran genjang yang direntang oleh v_1 dan v_2. Anggap v_1 sebagai alasnya. Untuk menghitung tingginya, kita tentukan projeksi ortogonal v_2 terhadap v_1, dan sebut komplemen ortogonal-nya v_2^\perp=v_2-{\rm proj}_{v_1}(v_2). Panjang vektor v_2^\perp tentunya lebih kecil daripada panjang vektor v_2. Nah, karena itu, luas jajaran genjang yang direntang oleh v_1 dan v_2 mestilah

\|v_1,v_2\|=\|v_1\|\,\|v_2^\perp\| \le \|v_1\|\,\|v_2\|.

Dalam notasi determinan, kesamaan di atas dapat dibuktikan sebagai berikut:

\begin{array}{rl} \|v_1,v_2\|^2 &= \left| \begin{array}{cc} \langle v_1,v_1\rangle & \langle v_1,v_2\rangle\\ \langle v_2,v_1\rangle & \langle v_2,v_2\rangle \end{array} \right|\\ &\\&= \left| \begin{array}{cc} \langle v_1,v_1 \rangle & \langle v_1,v_2\rangle\\ \langle v_2^\perp,v_1\rangle & \langle v_2^\perp,v_2\rangle \end{array} \right|\\ &\\&= \left| \begin{array}{cc} \langle v_1,v_1 \rangle & \langle v_1,v_2^\perp\rangle\\ \langle v_2^\perp,v_1\rangle & \langle v_2^\perp,v_2^\perp\rangle \end{array} \right|\\ &\\&= \|v_1\|^2 \|v_2^\perp\|^2.\end{array}

Ingat bahwa nilai determinan tidak berubah ketika kita menambahkan kelipatan dari satu baris ke baris lainnya, demikian juga ketika kita menambahkan kelipatan dari satu kolom ke kolom lainnya.

*

Bandung, 03-11-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s