Projeksi Ortogonal

Misalkan v adalah suatu vektor tak nol di {\bf R}^d. Diberikan vektor u\in {\bf R}^d, kita dapat memprojeksikannya secara ortogonal pada v dan memperoleh vektor projeksi ortogonal

{\rm proj}_v(u):=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.

Selain itu, kita juga peroleh vektor komplemen ortogonalnya, yaitu

u^\perp:=u-{\rm proj}_v(u).

Panjang vektor komplemen ortogonal u^\perp dalam hal ini sama dengan jarak titik ujung vektor u ke garis yang direntang oleh vektor v.

Nah, sekarang misalkan v_1,v_2,\dots,v_n adalah himpunan n vektor bebas linear di {\bf R}^d. Diberikan vektor u\in {\bf R}^d, buktikan bahwa vektor projeksi ortogonal u pada V:={\rm span}\{v_1,v_2,\dots,v_n\} adalah {\rm proj}_V(u)=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\cdots +\alpha_nv_n dengan \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n memenuhi sistem persamaan

\left[\begin{array}{ccc} \langle v_1,v_1\rangle & \cdots & \langle v_1,v_n\rangle\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle v_n,v_1\rangle & \cdots & \langle v_n,v_n\rangle\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} \langle u,v_1\rangle\\ \vdots\\ \langle u,v_n\rangle \end{array}\right].

Sebagai petunjuk, tinjau vektor komplemen ortogonalnya, yaitu u^\perp:=u-{\rm proj}_V(u). Sifat apa yang dipenuhi oleh vektor ini?

O ya, sistem persamaan di atas dijamin memiliki solusi karena matriks Gram [\langle v_i,v_j\rangle] memiliki determinan positif. Secara geometris, determinan matriks ini menyatakan volume paralelpipedium berdimensi n yang direntang oleh vektor-vektor v_1,v_2,\dots,v_n.

*

Bandung, 13-10-2018

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s