Bilangan Kompleks dan Teorema Dasar Aljabar

Hendra Gunawan

Bilangan kompleks diperkenalkan secara sekilas di SMA dalam pembahasan persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0. Jika b^2-4ac<0, persamaan ini mempunyai akar kompleks sekawan x_{1,2}:=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}, dengan i menyatakan bilangan imajiner yang memenuhi persamaan i^2:=-1.

Dalam banyak buku, bilangan kompleks kemudian disajikan sebagai z:=a+bi dengan a,b\in{\bf R}. Dalam hal ini a disebut bagian real dari z, ditulis a:={\rm Re}(z); sementara b disebut bagian imajiner dari z, ditulis b:={\rm Im}(z).

Penjumlahan dan perkalian dua buah bilangan kompleks dapat dilakukan seperti halnya terhadap dua buah bilangan real:

(a+bi)+(c+di):=(a+c)+(b+d)i,

(a+bi)(c+di):=(ac-bd)+(bc+ad)i.

Sebagai contoh, (2+i)+(3+i)=5+2i dan (2+i)(3+i)=5+5i.

Himpunan semua bilangan kompleks, dilambangkan dengan {\bf C}, dapat dipandang sebagai bidang kompleks, yang serupa dengan bidang {\bf R}^2:

Modulus bilangan kompleks z=a+bi, ditulis |z|, diberikan oleh

|z|:=\sqrt{a^2+b^2},

yang menyatakan jarak Euclides dari z ke 0. Sebagaimana halnya di {\bf R}, kita mempunyai ketaksamaan segitiga di {\bf C}:

|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|.

Selanjutnya, diberikan bilangan kompleks z, kita mempunyai \bar{z}, yang menyatakan konjugasi atau kawan dari z, yakni

\bar{z}:=a-bi.

Untuk setiap z\in{\bf C}, berlaku

{\rm Re}(z)={1\over2}(z+\bar{z}),\quad{\rm Im}(z)={1\over{2i}}(z-\bar{z}),

|z|^2=z\bar{z},\quad z~{\rm real~jika~dan~hanya~jika}~z=\bar{z}.

Bilangan kompleks dapat pula dituliskan dalam bentuk polar: z:=r(\cos \theta+i\sin \theta), dengan r:=|z| dan \theta:=arg(z) menyatakan sudut yang dibentuk vektor z dengan sumbu real positif. Perhatikan bahwa dalam bentuk polar,

z_1z_2 = r_1r_2[\cos (\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)].

Nah, dari hasil kali (2+i)(3+i)=5+5i, kita peroleh

\arctan \frac12 +\arctan \frac13 = \arctan 1 = \frac{\pi}4.

Dengan membandingkan deret Maclaurin untuk e^{i\theta} dan \cos \theta+i\sin \theta, kita peroleh rumus Euler:

e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta,

khususnya

e^{i\pi}=-1.

Berbeda dari polinom real, setiap polinom kompleks senantiasa mempunyai akar, sebagaimana dijamin oleh teorema berikut:

Teorema Dasar Aljabar. Misalkan P(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n dengan a_n\not=0 dan n\in{\bf N}. Maka, terdapat bilangan \alpha\in{\bf C} sedemikian sehingga P(\alpha)=0.

Sebagai contoh, P(z):=1+z^2 mempunyai dua akar, yaitu i dan -i.

*

Bandung, 29-09-2018

Advertisement

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

3 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s