Operator Integral Fraksional

Pada tahun 2000, saya menghadiri International Conference on Mathematical Analysis and Its Applications di Kaohsiung, Taiwan. Di konferensi tersebut, saya bertemu dengan seorang matematikawan Jepang bernama Eiichi Nakai, yang kelak menjadi salah seorang kolaborator saya. Dari beliau, saya berkenalan dengan (operator) integral fraksional dan ruang Morrey, yang kemudian saya tekuni hingga saat ini.

Misalkan 0<\alpha<n. Operator I_\alpha yang memetakan fungsi f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} ke I_\alpha f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} dengan

I_\alpha f(x) :=\int_{\mathbb{R}^n} \frac{f(y)}{|x-y|^{\alpha-n}}\,dy

dikenal sebagai operator integral fraksional. (Melalui transformasi Fourier, operator I_\alpha identik dengan operator (-\Delta)^{-\frac{\alpha}{2}}.)

Operator integral fraksional merupakan operator terbatas dari ruang Lebesgue L^p(\mathbb{R}^n) ke ruang Lebesgue L^q(\mathbb{R}^n), yakni terdapat C>0 sedemikian sehingga

\|I_\alpha f\|_q \le C\,\|f\|_p,

untuk \alpha=\frac{n}{p}-\frac{n}{q},\ 1<p<q<\infty. Ketaksamaan di atas dikenal sebagai ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev, karena pertama kali dibuktikan oleh G.H. Hardy dan J.E. Littlewood pada tahun 1920-an dan diperumum oleh S.L. Sobolev pada tahun 1930-an.

Pada tahun 1960-an, ketaksamaan di atas diperumum oleh S. Spanne ke ruang Morrey L^{p,\lambda} yang beranggotakan fungsi f dengan

\sup\limits_{B=B(a,r)} \left( \frac{1}{r^\lambda} \int_B |f(y)|^p dy\right)^{1/p}<\infty,

dengan 1\le p<\infty dan 0\le \lambda\le n. Pada tahun 1975, D.R. Adams memperkuat hasil Spanne dengan membuktikan bahwa

\|I_\alpha f\|_{q,\lambda} \le C\,\|f\|_{p,\lambda}

untuk \alpha=(n-\lambda)\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right),\ 1<p<\frac{n}{\alpha}, dan 0\le \lambda<n-\alpha p. Papernya dapat diintip di sini.

Nah, pada tahun 1990-an, E. Nakai berhasil memperumum ketaksamaan di atas ke ruang Morrey diperumum. Kemudian, pada tahun 2001, Nakai mempelajari keterbatasan operator integral fraksional I_\rho yang memetakan f ke I_\rho f dengan

I_\rho f(x) := \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\rho(|x-y|)}{|x-y|^n} f(y)\,dy

di ruang Morrey diperumum. Papernya dapat diunduh di sini.

Merasa tertarik dengan operator integral fraksional I_\rho, saya mulai menekuninya sejak tahun 2001. Singkat cerita, pada tahun 2003, penelitian saya berbuah paper “On generalized fractional integral operators” yang saya publikasikan di Journal of the Indonesian Mathematical Society 9 (2003), 39-43. Hasil yang saya sajikan dalam paper ini merupakan penyempurnaan dari hasil yang diperoleh Nakai pada tahun 2001. Sila baca papernya bila Anda penasaran.

*

Bandung, 18-12-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s