Beberapa Norma-n di Ruang Hasil Kali Dalam

Di ruang hasil kali dalam (X,\langle \cdot,\cdot\rangle), kita dapat mendefinisikan norma-n standar

\|x_1,\dots,x_n\|_{\rm S} := \sqrt{\det [\langle x_i,x_j\rangle]}.

Selain itu, kita juga dapat mendefinisikan norma-n ala G\ddot{\rm a}hler

\|x_1,\dots,x_n\|_{\rm G} := \sup\limits_{\|y_j\|_{\rm S}\le 1} \det[\langle x_i,y_j\rangle],

dengan \|\cdot\|_{\rm S}:=\langle \cdot,\cdot\rangle^{1/2}.

Sebagai ilustrasi, untuk n=1, kita mempunyai

\|x\|_{\rm G} := \sup\limits_{\|y\|_{\rm S}\le 1} \langle x,y\rangle.

Perhatikan di sini bahwa

\|x\|_{\rm G} \le \|x\|_{\rm S}

untuk setiap x\in X, mengingat

\langle x,y\rangle \le \|x\|_{\rm S}\|y\|_{\rm S} \le \|x\|_{\rm S}

untuk setiap y\in X dengan \|y\|_{\rm S}\le 1.

Selanjutnya, untuk setiap x\in X\setminus\{0\}, kita dapat memilih y:=\frac{x}{\|x\|_{\rm S}}, sehingga kita peroleh \|y\|_{\rm S}=1 dan

\langle x,y\rangle = \langle x,\frac{x}{\|x\|_{\rm S}}\rangle = \|x\|_{\rm S}.

Jadi,

\|x\|_{\rm G} = \sup\limits_{\|y\|_{\rm S}\le 1} \langle x,y\rangle = \|x\|_S.

Nah, dengan argumentasi serupa (tetapi tentunya lebih rumit), kita dapat membuktikan bahwa

\|x_1,\dots,x_n\|_{\rm G} = \|x_1,\dots,x_n\|_{\rm S}

untuk setiap x_1,\dots,x_n\in X. Ini merupakan salah satu hasil yang saya peroleh bersama dengan Sumanang Gozali (yang ketika itu sedang menempuh studi S3 di bawah bimbingan saya) dan Oki Neswan pada tahun 2009-2010.

Hasil lainnya dapat dilihat dalam paper “On n-norms and bounded n-linear functionals in a Hilbert space” yang dipublikasikan di Annals of Functional Analysis (2010).

*

Bandung, 19-03-2019

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s