Ruang Morrey, Lagi

Hendra Gunawan

Melanjutkan artikel tentang ruang Morrey, saya ingin memperkenalkan notasi lain selain L^{p,\lambda}, yaitu M^p_q, dengan 1\le p\le q<\infty. Menggunakan notasi kedua ini, fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} merupakan anggota M^p_q apabila

\|f\|_{p,q} := \sup\limits_{B=B(a,r)} |B|^{\frac1q-\frac1p} \Bigl(\int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p}<\infty.

Perhatikan jika p=q, maka M^q_q=L^q — ruang Lebesgue yang beranggotakan fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\|f\|_q:= \Bigl(\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^q dx\Bigr)^{1/q}<\infty.

Selanjutnya, Anda dapat memeriksa bahwa M^p_q=L^{p,\lambda} dengan \lambda=\frac{n}{p}-\frac{n}{q}.

Lalu mengapa kita harus mempunyai dua notasi berbeda? Untuk satu keperluan, notasi pertama lebih memudahkan. Untuk keperluan lain, notasi kedua lebih menguntungkan. Dengan notasi kedua, kita dapat melihat sifat inklusi di antara ruang Morrey. Sebagai contoh, Anda dapat memeriksa dengan mudah bahwa L^q \subseteq M^p_q dan inklusi ini bersifat `sejati’ untuk 1\le p<q<\infty.

Penelitian lebih lanjut tentang sifat inklusi di antara ruang Morrey baru dilakukan sekitar lima tahun yang lalu. Saya akan ceritakan hasilnya pada suatu saat nanti ya…

*

Bandung, 16-03-2019

 

 

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s