Ruang Morrey, Lagi

Melanjutkan artikel tentang ruang Morrey, saya ingin memperkenalkan notasi lain selain L^{p,\lambda}, yaitu M^p_q, dengan 1\le p\le q<\infty. Menggunakan notasi kedua ini, fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} merupakan anggota M^p_q apabila

\|f\|_{p,q} := \sup\limits_{B=B(a,r)} |B|^{\frac1q-\frac1p} \Bigl(\int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p}<\infty.

Perhatikan jika p=q, maka M^q_q=L^qruang Lebesgue yang beranggotakan fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\|f\|_q:= \Bigl(\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^q dx\Bigr)^{1/q}<\infty.

Selanjutnya, Anda dapat memeriksa bahwa M^p_q=L^{p,\lambda} dengan \lambda=\frac{n}{p}-\frac{n}{q}.

Lalu mengapa kita harus mempunyai dua notasi berbeda? Untuk satu keperluan, notasi pertama lebih memudahkan. Untuk keperluan lain, notasi kedua lebih menguntungkan. Dengan notasi kedua, kita dapat melihat sifat inklusi di antara ruang Morrey. Sebagai contoh, Anda dapat memeriksa dengan mudah bahwa L^q \subseteq M^p_q dan inklusi ini bersifat `sejati’ untuk 1\le p<q<\infty.

Penelitian lebih lanjut tentang sifat inklusi di antara ruang Morrey baru dilakukan sekitar lima tahun yang lalu. Saya akan ceritakan hasilnya pada suatu saat nanti ya…

*

Bandung, 16-03-2019

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s